[กิตติ]

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว