[กขฃคฅฆง]

มีโจทย์ shortlist tmo 11 ครับ

C1. (บูรพา) มีแท่งไม้ตรง 22 แท่ง ยาว 1,2,...,22 เมตร ตามลำดับ จะต้องสุ่มหยิบแท่งไม้มาน้อยที่สุดกี่แท่ง จึงจะมี 3 แท่งจากที่เลือกประกอบเป็นสามเหลี่ยมได้เสมอ

C2. (ศิลปากร) ให้ $X \in \{1,2,3,...,100 \}$ จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมีสมบัติว่า ถ้า $A \subset X$ และ $|A| \geqslant n$ แล้วจะมี $a,b \in A$ ที่ $a$ และ 3 เป็นตัวประกอบของ $b$

C3. (สอวน) ให้ $A = \{(x,y) \in \mathbb{R} ^2 | x,y \in \{1,2,3,4 \} \}$ จงหาขนาดที่ใหญ่ที่สุดของเซตย่อยของ $A$ ที่มีสมบัติว่า ไม่มีสี่จุดใดๆ ในเซตย่อยดังกล่าวเป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมมุมฉาก (ไม่จำเป็นว่าด้านจะต้องขนานกับแกน)

C4. (สอวน) กำหนด $A = \{1,2,...,2014 \}$ จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : A \rightarrow A$ ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
1. มี $k \in A$ ซึ่ง $f$ เป็นฟังก์ชันไม่ลดบน $\{1,2,...,k \}$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่มบน $\{k,k+1,...,2014 \}$
2. $ |f(n+1)-f(n)| \leqslant 1$ สำหรับทุก $n=1,2,...,2013$
3. $f(1) = f(2014) = 1$

C5. (มหิดลวิทย์) ณ ค่ายปฐมนิเทศของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีนักเรียนเข้าร่วมทั้งหมด 4n คน ซึ่งประกอบด้วยนักเรียนชายอย่างน้อย n คนและนักเรียนหญิงอย่างน้อย n คน เพื่อให้นักเรียนแต่ละคนได้รู้จักกันมากขึ้น ทางโรงเรียนจึงได้จัดกิจกรรมโดยให้ นักเรียนนั่งล้อมรอบเป็นวงกลม 2 วง วงละ 2n คน วงในและวงนอก หลังจากนั้นให้นักเรียนแต่ละคนได้พูดคุยกันเรื่องอะไรก็ได้ ระหว่างคู่ของตนเองที่อยู่ตำแหน่งตรงกันระหว่างวงเป็นเวลา 1 นาที เมื่อหมดเวลา ครูผู้ควบคุมเวลาจะเป่านกหวีดให้นักเรียนวงในขยับไปทางขวาเพื่อคุยกับเพื่อนคนอื่นๆ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนเวลาผ่านไป 2n นาที ถ้าวงนอกมีนักเรียนชาย n คนและ นักเรียนหญิง n คน จงแสดงว่า มีช่วงนาทีหนึ่งที่มีนักเรียนเพศเดียวกันพูดคุยกันอย่างน้อย n คู่ และ มีช่วงนาทีหนึ่งที่มีนักเรียน ต่างเพศกันพูดคุยกันอย่างน้อย n คู่

C6. (สอวน) สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ จงหาจำนวนวิธีในการปูกระดานขนาด 3×2n ด้วยกระเบื้องขนาด 1×2

C7. (สอวน) ข้อสอบ TMO ข้อ 3

C8. (สอวน) ข้อสอบ TMO ข้อ 8

C9. (สอวน) นักวิจารณ์สามคนกำลังจัดอันดับภาพยนตร์ 2n+1 เรื่อง โดยนักวิจารณ์แต่ละคนจะให้คะแนนภาพยนตร์แต่ละเรื่องเป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันตั้งแต่ 0 ถึง 2n จากนั้นจึงนำคะแนนที่นักวิจารณ์ทั้งสามคนให้ภาพยนตร์แต่ละเรื่องมารวมกันเป็นคะแนนรวมของภาพยนตร์เรื่องนั้นๆ เราจะกล่าวว่าภาพยนตร์ A เป็นที่นิยมกว่าภาพยนตร์ B ถ้ามีนักวิจารณ์อย่างน้อยสองคนให้คะแนน A มากกว่า B
จงพิสูจน์ว่าภาพยนตร์แต่ละเรื่องเป็นที่นิยมกว่าภาพยนตร์เรื่องอื่นๆ n เรื่องพอดีก็ต่อเมื่อภาพยนตร์ทุกเรื่องมีคะแนนรวมเท่ากัน

C10. (สอวน) กำหนดจำนวนเต็มเริ่มต้น $n_0 > 1$ ผู้เล่นสองคนคือ เอ กับ บี ผลัดกันเลือกจำนวนเต็มตามกติกาต่อไปนี้ เมื่อรู้ค่าของ $n_{2k}$ เอจะเลือกจำนวนเต็ม $n_{2k+1}$ ที่สอดคล้อง $n_{2k} \leqslant n_{2k+1} \leqslant n_{2k}^2$ เมื่อรู้ค่าของ $n_{2k+1}$ บีจะเลือกจำนวนเต็ม $n_{2k+2}$ ที่ทำให้ $\dfrac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} $ เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป กำลังของสอง ($2^l$ โดยที่ $l>0$) กำลังของสาม ($3^l$ โดยที่ $l>0$) หรือ จำนวนไม่มีกำลังสอง (squarefree) ถ้าเอได้เลือก 2557 ถือว่าเอเป็นฝ่ายชนะ ถ้าบีได้เลือก 1 ถือว่าบีเป็นฝ่ายชนะ จงหาว่าค่าของ $n_0$ ค่าใดที่
(ก) เอมีกลยุทธ์การเล่นให้ชนะได้เสมอ
(ข) บีมีกลยุทธ์การเล่นให้ชนะได้เสมอ
(ค) ทั้งเอและบีไม่มีกลยุทธ์การเล่นให้ชนะ