NT ค่าย2 ปี 2555
อ้างอิง:
|
1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \not\equiv 3 (mod 4)$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a,b$ ที่ทำให้ $a^2+b^2\equiv 0 (mod p)$ โดยที่ $p \nmid aและ b$ พร้อมยกตัวอย่างให้เห็นจริง
|
ข้อนี้เคยเฉลยไปแล้วครับ
key
อ้างอิง:
2. ให้ $a,b\in N$ ซึ่ง $(a,b)=1$ จงหาคำตอบของสมภาค
$$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)$$
|
คูณ $a+b$ ลงไปตรงๆเลย แล้วพิสูจน์หรม.อีกนิดหน่อยครับ
อ้างอิง:
3. สำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ $n>2$ จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ
$$x^n+(x+1)^n=(x+2)^n$$
|
สมมติว่ามีจำนวนนับ $x$ ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข
สังเกตว่า LHS มี $2x+1$ เป็นแฟคเตอร์ ดังนั้น $x+2$ ต้องเป็นจำนวนคี่ หรือก็คือ $x$ ต้องเป็นจำนวนคี่
ให้ $x=2k-1$ จากนั้นก็จัดรูปสมการเป็น $(2k)^n = (2k+1)^n - (2k-1)^n$
พอกระจายออกมาก็ชัดเจนอยู่แล้วครับ
อ้างอิง:
4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร
$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 ด้วย 100$$
|
ข้อนี่ผมขอผ่านนะครับ (ลืมไปแล้วว่าทำยังไง ตัวยกกำลัง 6
)
อ้างอิง:
5. จงหาจำนวนเต็มบวก $m,n$ ซึ่ง $m>n$ และ $m+n$ มีค่าน้อยสุด ที่ทำให้
$$1234^m\equiv 1234^n (mod 1000)$$
|
ข้อนี้ยังไม่แน่ใจ ขอเวลาก่อนครับ