#68 ตอนนี้ผมอยู่ ม.6 (จบแล้ว) แล้วครับ
ข้อนี้สวยดีครับ เป็น IMO 1968
FE ค่าย2 ปี 2555
อ้างอิง:
5. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง นิยามโดยสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ มีบางจำนวนจริงบวก $a$ ที่ทำให้
$$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$$
5.1จงแสดงว่า $\frac{1}{2}\leqslant f(x)\leqslant 1$
5.2 จงแสดงว่ามีบางจำนวนจริงบวก $b$ ที่ทำให้ $f(x+b)=f(x)$ ทุก $x\in R$
|
5.1) มองว่า $f(x)$ เป็นตัวเลขหนึ่งซึ่ง $f(x)-[f(x)]^2 \ge 0$
และโดยพาราโบลาจะพบว่า $f(x)-[f(x)]^2 \le \dfrac{1}{4}$
ดังนั้น $\dfrac{1}{2} \le f(x+a) \le 1$ ทุกจำนวนจริง $x$
ซึ่งจริงๆก็คือ $\dfrac{1}{2} \le f(x) \le 1$ ทุกจำนวนจริง $x$
5.2) พิจารณา $f(x+2a)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x+a)-[f(x+a)]^2}$
แล้วกระจาย $f(x+a)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$ ลงไป
สุดท้ายนำข้อ 5.1) มาช่วยตอนถอดรากที่สองออกมาก็จะได้ว่า $f(x+2a)=f(x)$
ดังนั้นมีจำนวนจริง $b=2a$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข