หัวข้อ: โจทย์อสมการ
ดูหนึ่งข้อความ
  #11  
Old 11 ตุลาคม 2004, 18:05
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

ขอลองเล่นข้อล่างก่อนแล้วกันครับ.
จะพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงบวก x, y, z, m, n โดยที่ xzy = 1 แล้ว
1/(mx + ny) + 1(my + nz) + 1/(mz + nx) 3/(m + n)
สมมติให้ x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c จะได้ว่า
L.H.S. = 1/c(mb + nc) + 1/a(mc + nb) + 1/b(ma + nc)

โดยอสมการโคชี : [ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) ] (L.H.S.) (1 + 1 + 1)2 = 9
แต่ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) = (m + n)(ab + bc + ca)
ดังนั้น L.H.S 9/(m + n)(ab + bc + ca)

แต่โดยอสมการ A.M. - G.M. : ab + bc + ca 3(abc)2/3 = 3(1) = 3
ดังนั้น L.H.S : 9/3(m + n) = 3/(m + n)

11 ตุลาคม 2004 18:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้