วันแรก
ข้อ 3.
เพราะว่า u2 + v2 +w2 = (u + v + w)2 - 2(uv + uw + vw) = 52 - 2(4) = 17
เพราะว่า u3 + v3 + w3 = (u + v +w)(u2 + v2 +w2) - (uv + uw + vw)(u + v + w) + 3(uvw) = (5)(17) - (4)(5) + 3(3) = 74
เพราะว่า (uv)2 + (uw)2 + (vw)2 = (uv + uw + vw)2 - 2(u2vw + v2uw + w2uv) = (uv + uw + vw)2 - 2uvw(u + v + w) = 42 - 2(3)(5) = -14
เพราะว่า (uv)3 + (uw)3 + (vw)3 = (uv + uw +vw)((uv)2 + (uw)2 +(vw)2) - (u2vw + v2uw + w2uv)(uv + uw + vw) + 3(uvw)2 = (uv + uw +vw)((uv)2 + (uw)2 +(vw)2) - uvw(u + v + w)(uv + uw + vw) + 3(uvw)2 = (4)(-14) - (3)(5)(4) + 3(3)2 = -89
ดังนั้นจะได้สมการพหุนามคือ x3 - 74x2 - 89x - 27 = 0
ข้อ 4.
x - sqrt(1 - 1/x) = sqrt(x - 1/x)
x2 + 1 - 1/x - 2x sqrt(1 - 1/x) = x - 1/x
x2 - x + 1 = 2x sqrt(1 - 1/x)
(x2 - x + 1)2 = 4x2(1 - 1/x)
(x2 - x + 1)2 = 4x(x - 1)
(x2 - x - 1)2 + 4x2 - 4x = 4x(x - 1)
(x2 - x - 1)2 = 0
x = (1 + sqrt(5)) / 2 , (1 - sqrt(5)) / 2
แต่จากเงื่อนไขของโจทย์ x >= 1
ดังนั้น x = (1 + sqrt(5)) / 2
ข้อ 6.
เพราะว่า f(x) = (x7 - 1) / (x-1) และ f(x7) = (x7)6 + (x7)5 + (x7)4 + (x7)3 + (x7)2 + (x7) + 1 จะได้
f(x7) / f(x) = [(x7)6 + (x7)5 + (x7)4 + (x7)3 + (x7)2 + (x7) + 1](x - 1) / (x7 - 1)
= [(x7)5 + 2(x7)4 + 3(x7)3 + 4(x7)2 + 5(x7) + 6 + 7/(x7 - 1)](x - 1)
= [(x7)5 + 2(x7)4 + 3(x7)3 + 4(x7)2 + 5(x7) + 6](x - 1) + 7/f(x)
ดังนั้นเศษเหลือคือ 7
ข้อ 9.
เพราะว่า (2n)!/[(k!)2((n - k)!)2] = (2n)!(nCk)2 / (n!)2 = (2nCn)(nCk)2 ดังนั้น
sum( (2nCn)(nCk)2 , k = 0 ถึง n) = 2nCnsum( (nCk)2 , k = 0 ถึง n) = (2nCn)2
ข้อ 10.
มีวิธีเลือก 4 แบบ ดังนี้
1) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
2) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 1 ตัว และหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 และ 2 มาอย่างละ 1 ตัว จะได้ n3 วิธี
3) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 1 มา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
4) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 2 มา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดคือ n3 + 3(nC3) วิธี
ข้อ 11.
เพราะว่า 91 = 7*13 ดังนั้น
1) x1 + x2 + x3 = 7 และ y1 + y2 + y3 + y4 = 13 หรือ
2) x1 + x2 + x3 = 13 และ y1 + y2 + y3 + y4 = 7
กรณี 1) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ 6C212C3 = 3,300 วิธี
กรณี 2) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ 12C26C3 = 1,320 วิธี
จำนวนผลเฉลยทั้งหมดคือ 3,300 + 1,320 = 4,620 วิธี
วันที่สอง
ข้อ 2.
เพราะว่า f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 2547 จะได้ f(0) = -2547
เพราะว่า f(x + m) = f(x) + m [f(1) + 2547] เมื่อ m เป็นจำนวนนับใดๆ
ดังนั้น f(2004) = f(0 + 2004) = f(0) + 2004 [f(1) + 2547] จะได้ f(1) + 2547 = 2547/1002
นั่นคือ f(m) = f(0 + m) = f(0) + m(2547/1002) = -2547 + m(2547/1002)
จะได้ f(2547) = -2547 + 25472/1002
|