[nooonuii]

ขอบคุณพี่ gon สำหรับวิธีคิดครับ สั้นกระชับดีครับ
ส่วนข้อล่าสุดคิดออกแล้วครับ จะพิสูจน์อสมการนี้แทนครับ

ถ้า x,y,z,m,n เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว เราจะได้ว่า

x²/(my+nz) + y²/(mz+nx) + z²/(mx+ny) ณ (x+y+z)/(m+n)

พิสูจน์ โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
x + y + z = (x / ึmy + nz)(ึmy + nz) + (y / ึmz + nx)(ึmz + nx) + (z / ึmx + ny)(ึmy + nz)
ฃ ึLHSึ(m + n)(x + y + z)
จัดรูปก็จะได้อสมการตามต้องการ

คราวนี้ก็ประยุกต์อสมการข้างบนโดยให้
x = (ab)^p , y = (bc)^p, z = (ca)^p
และใช้ AM-GM กับเงื่อนไข abc = 1 พิสูจน์ว่า x + y + z ณ 3
ก็จะได้คำตอบครับ