[Thgx0312555]

Physic 1. $v =\dfrac{(M+m)\sqrt{2gh}}{m}$

Maths 2:: Sol$^n$

พิจารณา $9^{9^9}=(10-1)^{9^9}$

กระจายทวินาม จะได้

$(10-1)^{9^9}=\binom{9^9}{9^9}10^{9^9}(-1)^0+\binom{9^9}{9^9-1}10^{9^9-1}(-1)^1+...+\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}$

ซึ่งพจน์แรกจนถึงพจน์ที่สี่จากท้าย หารด้วย 1000 ลงตัว จึงพิจารณาเพียงสามพจน์หลัง
$\binom{9^9}{2}10^2(-1)^{9^9-2}+\binom{9^9}{1}10^1(-1)^{9^9-1}+\binom{9^9}{0}10^0(-1)^{9^9}=-9^9(9^9-1)\times50+9^9\times10-1$

$9^2 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^8 \equiv 1 \pmod{20} $
$9^9 \equiv 9 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1) \equiv 72 \equiv 12 \pmod{20} $
$9^9(9^9-1)\times50 \equiv 600 \pmod{1000}$

$9^9 \equiv 89 \pmod{100}$
$9^9 \times 10 \equiv 890 \pmod{1000}$

จึงได้ว่าเหลือเศษ $-600+890-1 = 289$
ได้ตรงกับ wolfram