ผมทวน proof ของตัวเองดูแล้วระบบ induction ของผมยังไม่ cover โดเมนครับ
ไอเดียที่ผมทดไว้คือสร้างเครื่องมือโยงค่า max บนเลขชี้กำลัง
ในที่นี้คือ $n_{1}$ ในตำแหน่งที่ $p=2$ (ใช้เลอจองด์พิสูจน์ออกมาว่า max ที่ 2)
จากนั้นก็ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $n_{1}=\frac{m-\sum a_{i}}{p_{1}-1}$ $0 \leq i \leq k$ (เลอจองด์อีกฟอร์ม)
แต่ prove ไปแล้วว่า max $p$ มันเกิดที่ $p_{1}=2$
เลยได้ว่าต้อง prove $2^{m-\sum a_{i}-1} > m$ โดยที่ $m=a_{k}2^{k}+a_{k-1}2^{k-1}+...+a_{1}2+a_{0}$
เป็น base 2 representation ของ $m$
เพราะงั้น $a_{i}$ เป็นได้แค่ $0,1$ จากนั้นใช้ความรู้อสมการมาหยิบขอบของค่า $\sum a_{i}$ ที่เป็นไปได้
เอาเข้าไปเปรียบเทียบกับค่าของ $m-1$ บนเลขชี้กำลังครับ
แต่เวลาเปรียบเทียบค่ามันเอาไปเทียบ $m$ ตรงๆลำบาก ผมเลยเลือกวิธีตัดเซทของ $m$ ออกเป็นช่วงๆ
ด้วยค่าของจำนวนเป็นคู่ๆ (ที่เลือกมาให้เปรียบเทียบค่าของ $\sum a_{i}$ ได้ )
ก็เท่ากับว่าใช้จำนวนนั้นเป็นเส้นแบ่งโดนเมนของ $\mathbb{N}$ แล้วพิสูจน์ข้อความ for all ใช้ช่วงที่แบ่ง
ตรงนั้นแหละที่ใช้ induction เล็กๆครับ จากนั้นใช้ผลของ subset ของ $\mathbb{N}$ ที่แบ่งไว้
มา union กันให้ cover $\mathbb{N}$ ตามที่โจทย์บอกคือ $m \geq 6$ ก็จบครับ
แต่ขั้นสุดท้าย ผมมาเจอปัญหาซะก่อน ถ้าหากซีเรียสมาก ไว้มีเวลาเดี๋ยวผมมาจัดการให้ครับ
ปล. ขั้นสุดท้ายคือ prove ให้คลุมโดเมนที่โจทย์อยากได้ ผมมีไอเดียเรื่อง Cauchy induction, Strong induction
กับเหตุผลเรื่อง bijection ที่ส่งโดเมนที่แบ่งออกให้สมมูลกับระบบของ induction แต่ยังไม่หลุดครับ
