อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-
$A = m^{2} - n^{2} = (m-n)(m+n)$
$B = m^{3} - n^{3} = (m-n)(m^2+mn+n^2)$
$(A,B) = 7 = m-n $ แทน m = n+7 ใน A และ B ได้
$A = 7(2n+7)$
$B = 7[(n+7)^2+(n+7)n+n^2] = 7[(n^2+14n+49+n^2+7n+n^2)] = 7[3n^2+21n+49]$
ไปต่อยังไงดีครับ ?
|
ผมว่า มันน่าจะเริ่มต้นที A หาร B ลงตัว มากกว่า /มั้ง ?/
ถ้าเป็นไปตามสันนิษฐานที่ตอบข้อสอบไปละก็คือ
$A = m^{2} - n^{2}$
$A = (m - n)(m + n)$
$B = m^{3} - n^{3}$
$B = (m - n)(m^{2} + mn + n^{2})$
"A หาร B ลงตัว" แสดงว่า $\frac{B}{A}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ได้ว่า
$\frac{(m - n)(m^{2} + mn + n^{2})}{(m - n)(m + n)}$
$= \frac{m^{2} + mn + n^{2}}{m + n}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย เพราะฉะนั้นแล้ว หรม.$ \not= m - n$ /มั้ง ?/
ถ้านำ $m - n$ ไปหาร $m^{2} + mn + n^{2}$ จะต้องเหลือ เศษ 0 เพราะหารลงตัว
แต่หารออกมาแล้ว ได้เศษ $n^{2}$
เพราะฉะนั้น $n^{2} = 0$
$n = 0$
ฉะนั้นแล้วทุกสมการที่กล่าวมาในโจทย์จะกลายเป็น
$A = m^{2}$
$B = m^{3}$
ดังนั้น หรม. คือ $m^{2}$ = 7
$m = \pm \sqrt{7}$
เพราะฉะนั้น ครน. คือ $m^{3}$
$m^{3} = (\pm \sqrt{7})^{3}$
$= \pm 7\sqrt{7}$ /มั้ง ?/
ปล. ช่วยตรวจทานให้ด้วย na_kup
