[กิตติ]

3.กำหนดให้$x,y$และ$z$เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ$0$ โดยมีความสัมพันธ์กันตามสมการนี้
$x^2=yz$ และ $x^4=xy+yz+xz$
จงหาว่าค่า$x^2$มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าไหร่

ผมว่าแค่ $AM-GM-HM$ ก็ออกแล้ว
$x^4=xy+x^2+xz$
$x^4-x^2=x(y+z)$....$x \not=0$
$y+z=x^3-x$
$x+y+z=x^3$..........*
$x^3=x(x^2)=xyz$...........**
$x^4=xy+yz+xz=xyz(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )=x^3(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )$
$x=(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} )$........***

$\dfrac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz}\geqslant \dfrac{3}{\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}} $
จากนั้นเอา$*,**,***$ มาลงจะได้

$\dfrac{x^3}{3} \geqslant x\geqslant \frac{3}{x} $
ทีนี้จะเลือกท่อนไหนมาทำก็ได้
$\dfrac{x^3}{3} \geqslant x$ หรือ $x\geqslant \frac{3}{x} $
สุดท้ายจะได้สมการ$x^3-3x\geqslant 0$
$x(x^2-3)\geqslant 0$...เนื่องจาก$x \not = 0$
จะได้ว่า $x^2-3\geqslant 0 \rightarrow x^2>3$

ค่าที่น้อยที่สุดของ$x^2$ คือ $3$

แก้ไขใหม่.....ต้องเริ่มจาก
$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3} \geqslant \sqrt[3]{(xyz)^2} $
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=x^6-2x^4$ ......****
จากนั้นเอา $****$ มาแทนจะได้
$x^6-2x^4-3x^2 \geqslant 0$
$x^2(x^4-2x^2-3)\geqslant 0$
$x^2(x^2-3)(x^2+1) \geqslant 0$
เนื่องจาก $x \not =0 \rightarrow x^2>0$ และ $x^2+1 >0$
เหลือ $(x^2-3)\geqslant 0$
จะได้ว่า $x^2\geqslant 3$