ข้อสอบค่าย 3 ผมมีบางส่วนนะครับ
1. ให้ $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ และ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$
จงแสดงว่ามีผลคูณของ 2 จำนวนต่างกันใน $x_1,x_2,...,x_n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\dfrac{1}{n}$
2. กำหนด $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนจริงและ $a_0,a_n \not= 0$
สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ได้ว่า $f(x) \cdot f(2x^2) = f(2x^3+x)$ พิสูจน์ว่า $f$ ไม่มีรากจริง
3. ให้ $a_0,a_1,a_2,...$ เป็นลำดับเพิ่มของจำนวนเต็มบวก (ผมว่าโจทย์ผิด น่าจะเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบมากกว่า)
ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบจะสามารถเขียนได้ในรูปของ $a_i+2a_j+4a_k$ สำหรับบาง $i,j,k$ ที่ไม่จำเป็นต้องต่างกัน
จงหาค่าของ $a_{14}$
1. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้อสมการ $$16x^2+16y^2+\frac{1}{32} \ge x+y-axy$$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $|x|=|y|$
2. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $x_1,x_2,...,x_n$ ซึ่ง $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=n$
จงแสดงว่า $$x_1x_2^2x_3^3 \cdots x_n^n \ge \Big[ \frac{3}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \Big] ^{\frac{n(n+1)}{2}}$$
3. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ซึ่ง $abc=1$
จงแสดงว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{1+a^3} \cdot \sqrt{1+b^3}} \ge \frac{4}{3}$$
4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด
5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
(i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$
(ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$
(iii) $f(9999)=3333$
จงหาค่าของ $f(2010)$
6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$
1. จงเติมคำตอบต่อไปนี้
1.1) $ord_52=?$
1.2) $ord_{13}2=?$
1.3) $ord_{10}3=?$
1.4) $ord_{11}3=?$
1.5) $ord_{17}2=?$
1.6) $ord_{25}9=?$
1.7) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้ว $ord_p(p-1)=?$
1.8) ให้ $a \in \mathbb{Z}_n^*$ ซึ่ง $ord_na=h$ ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k|h$ แล้ว $ord_na^k=?$
1.9) จงเขียนเซต $\{ a \in \mathbb{Z}_n^*\, :\, ord_{25}a=10 \}$ แบบแจกแจงสมาชิก
1.10) ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ ที่ $(a,100)=(b,100)=1$ และ $ord_{100}a=4$ และ $ord_{100}b=10$ แล้ว $ord_{100}ab=?$
2. จงแสดงว่าทุก $a \in \mathbb{Z}_{63}^*$ แล้ว $ord_{63}a < \phi (63)$
3. ให้ $a,b \in \mathbb{Z}_n^*$ จงแสดงวิธีเขียน $ord_na \cdot _n b$ ในรูปของ $ord_na$ และ $ord_nb$
4. สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ให้ $n=p^3$ จงแสดงว่ามี $a \in \mathbb{Z}_n^*$ หรือไม่ซึ่ง $ord_na= \phi (n)$
1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้ว 4 สี สีละ 100 ลูก ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงนาทีละลูก
จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยเท่าใดจึงจะมั่นใจว่าลูกที่หยิบออกมาแล้วมีกลุ่มที่เป็นสีเดียวกัน 1 โหล
2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม
จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม
3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ
นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี
4. เกมหอคอยฮานอยมี 3 เสากับแผ่นไม้ 10 แผ่นขนาดรัศมีต่างกัน จะเรียงได้กี่วิธี
5. ให้ $n=2^{17} \cdot 3^8$ จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k|n^2$ ในขณะที่ $k \nmid n$
6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่
7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$
8. ในเซต $\{ 1,2,3,...,200 \}$ มีกี่จำนวนที่ปราศจากกำลังสอง และห้ามใช้วิธีการแจกแจงกรณี
9. หาจำนวนวิธีเลือกช่องในตาราง $8 \times 8$ อย่างน้อย 1 ช่องโดยไม่มีช่องใดที่เลือกอยู่ในแถวและหลักเดียวกัน
และไม่มีช่องใดอยู่ทางซ้ายและใต้ของบางช่องที่ถูกเลือก
10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์โดยให้เหตุผลเชิงคอมบินาคอริคส์ว่า $$\frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$
part1 - calculate
1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12
จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ
2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ $AX:XB=3:5$ ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y
ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC]
3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E
ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H
ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH
4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A
ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO
5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E
ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$
6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO
วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ
ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB
7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ
ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX
ถ้ามุม AXB=130$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม AXE
8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO
ถ้ามุม AIC=125$^{\circ}$ และ IBO=10$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม BIC
9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG]
(I=incenter, O=circumcenter, G=centroid)
10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3
ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC]
part2 - prove
1. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX
2. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ
ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า AC$\cdot$XY$^2$ = 2AZ$\cdot$CX$^2$
3. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่
พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน
4. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ
พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$
5. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า AC$\cdot$BD=AB$\cdot$CD+AD$\cdot$BC แล้วพิสูจน์ว่า ABCD concyclic
(บทกลับ Ptolemy's theorem)
6. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ
ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ
พิสูจน์ AB$^2$=4CX$\cdot$XD
7. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC
ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \ge 2$$
2. กำหนด $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
(i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, \infty )$
(ii) $f(x)>-\frac{1}{x}$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ
(iii) $f(x) \cdot f \Big( f(x)+\dfrac{1}{x} \Big) = 1$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ
จงหาค่าของ $f(1)$ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว
1. ถุงหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง, เขียว, ขาว, ดำอย่างละ 10 ลูก แต่ละสีมีหมายเลข 1-10 ติดอยู่
จงหาจำนวนวิธีสุ่มหยิบลูกปิงปองแล้วลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกหนึ่งไม่ติดหมายเลข 9
2. ให้ $S=\{ a,b,c,d,e \}$ และ $X,Y,Z \subseteq S$
จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $T=\{ (X,Y,Z)\, :\, X \cap Y \cap Z = \phi$ และ $X \cup Y \cup Z=S \}$
3. จำนวนเต็มบวกสามหลักซึ่งหารด้วย 2,3,4,5 ได้ลงตัวมีกี่จำนวน
4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 10 และ $S = \{ (a,b,c)\, :\, 20|a \cdot b \cdot c\}$
จงหาจำนวนสมาชิกในเซต S
5. จงหาจำนวนวิธีจัดเรียง 555554444333221 โดยที่ "3 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" และ "2 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" เช่นกัน
6. ให้ $a,b,m,n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(m,n)=1$ จงแสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม x ซึ่ง
$x \equiv a \pmod{m}$ และ $x \equiv b \pmod{n}$
ผมลงโจทย์เท่าที่มีครบแล้วนะครับ ส่วนปีนี้จะเป็นยังไงก็คงต้องรอรุ่นต่อไปมาลงละกันนะครับ
หรือถ้าโชคดีได้ข้อสอบมาก็จะลงให้ครับ 
__________________
keep your way.
07 เมษายน 2012 19:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine
|