[Euler-Fermat]

Logic and Proof

1.จงพิจารณาว่ารูปแบบการอ้างเหตุผล ในข้อใดบ้างที่สมเหตุสมผล

(i) เหตุ $p\rightarrow q ,\sim p$ ผล $ \sim q$

(ii) เหตุ $p\leftrightarrow q , p \vee r , r $ ผล $q$

(iii) เหตุ $ p \rightarrow q,q \rightarrow r ,\sim r$ ผล $\sim p $

(iv) เหตุ $p \rightarrow (q \vee r) , q \rightarrow (s \wedge \sim s) , p$ ผล $ r$

2.ถ้า $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง และ $b,d \not= 0 $

แล้วจงพิสูจน์ว่า $(\dfrac{a}{b})(\dfrac{c}{d}) = \dfrac{ac}{bd}$

3.ให้$ x$ เป็นอตรรกยะบวก จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก $1 < nx < 2 $ ก็ต่อเมือ $x < 2 $

4. สำหรับฟังก์ชัน $ f : X\rightarrow Y$ สำหรับ $A \subseteq X$ ภาพของ $A $ ภายใต้ $f$ คือเซต $ f(A) $

โดย $f(A) = \left\{ f(x) \mid x \in A\,\right\}$

$A,B \subseteq X$ และ $f$ เป็นฟังก์ชัน $1-1$ จงพิสูจน์ว่า $f(A)\cap f(B) \subset f(A\cap B) $

5.ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ มี $P_n(x) $ซึ่งเป็นพหุนามดีกรี $ n $

ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้ $\cos(n\theta) = P_n\cos \theta$

6.จงพิสูจน์ว่า $\cos 1^{\circ} $ เป็นจำนวนอตรรกยะ

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

2. ผลคูณของจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน 4 จำนวนไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3. กำหนดให้ $a_n = n^9 - n $

จงหาค่า $(a_1,a_2,a_3,....,a_{100})$

4.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนอนันต์ ซึ่งทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ

Combinatorics

1. ข้อสอบ $15 $ ข้อ แต่ละข้อ มี $5$ ตัวเลือกโดยให้ทำทุกข้อ จงหาจำนวนวิธีในการเลือกตอบข้อสอบชุดนี้

(i) ไม่มีเงื่อนไข

(ii) เลือกตัวเลือกที่ $n$ สำหรับข้อที่ $n = 1,2,3,4,5$

(iii) เลือกตัวเลือกที่ $5 $ เป็นจำนวน $5$ ข้อ

2. ลูกบอล $20$ ลูกที่เหมือนกันในกล่องๆหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลโดยแต่ละครั้งในการหยิบต้องหยิบอย่าง

น้อย $2$ ลูก และหยิบไม่เกิน $ 5$ ครั้ง จงหาจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล

3. ตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาด $9\cdot 6$ จงหาจำนวนวิธีในการเดิน จากมุมซ้ายล่างไปยังมุมขวาบน

(i) เดินได้ แค่ บน กับ ขวา

(ii) เดินได้ บน ขวา ซ้าย (โจทย์ผิด)

4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^5$ ใน $(x^4+4)^{4444}(x^3+3)^{333}(x^2+2)^{22}(x+1)$

Algebra

1.ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1$ จงหาค่าของ $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)$

2.ให้ $ z = cis(\dfrac{2\pi}{5}) $

จงพิสูจน์ว่า

(i) $z^5-1 = 0 $

(ii)$z^4+z^3+z^2+z+1 = 0 $

(iii) $\dfrac{1}{1+z+z^2}+\dfrac{1}{1+z^2+z^3}+\dfrac{1}{1+z^3+z^4} = \dfrac{1}{Re(z^2)}$

3. $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

จงพิสูจน์ว่า $(\dfrac{a}{b})^c+(\dfrac{b}{c})^a+(\dfrac{c}{a})^b = (\dfrac{b}{a})^c+(\dfrac{c}{b})^a+(\dfrac{a}{c})^b$

Geometry

1.วงกลมสองวงตัดกัน ที่จุด $A$ และ $B $ ลากเส้นตรงตัด $AB$ โดยเส้นตรงตัด วงกลมสองวงที่ $P,Q,R,S$ ตามลำดับ

จงพิสูจน์ว่า $\angle PAQ = \angle RBS$

2.รูปการแบ่งครึ่งเส้นตรงออกเป็นสามส่วน เท่าๆกัน โดยให้ พิสูจน์ว่า $AP = PQ = QB$ เมื่อ $P,Q$ คือจุดแบ่ง (มีรูปมาให้แล้วให้เราพิสูจน์)

อีกสองข้อ เป็นข้อเรขาคณิตเกี่ยวกับ ฟุตบอล ซึ่งมันต้องมีรูป