[กิตติ]

ลองโหลดมาดูในปี2011กับ2010....เป็นข้อสอบของการคัดตัวของประเทศไต้หวัน ผมเลือกข้อที่เป็นพีชคณิตเพราะมีตัวหนังสือน้อย พอจะใช้google translateแปลได้ ข้อที่เนื้อหายาวๆ รู้สึกว่ากูเกิลจะแปลไม่ได้เนื้อความ

5ข้อแรกมาจากปี 2011

1.$x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$\dfrac{5}{2x} +\dfrac{2}{5y} =\dfrac{1}{100} $

จงหาว่ามีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่

2.ค่า$x,y,z$ สอดคล้องกับสมการนี้

$x+y+z=4$

$x^2+y^2+z^2=6$

$x^3+y^3+z^3=10$

จงหาค่าของ $\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} $

3.กำหนดให้ $a$ และ $\frac{a^3+25}{a+5} $ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$

4.ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่$x^2y^3=6^{12}$ มีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่ที่สอดคล้องกับสมการนี้

5.ให้ $N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$ จงหาเลขท้าย5ตัวสุดท้ายของ$N$

เดี๋ยวค่ำๆจะเอามาลงอีก 5 ข้อ ใครสนใจลองทำ 5 ข้อแรกไปก่อนเลย

อีก 6 ข้อเป็นของปี2010

6.จงหาเศษจากการหาร $9^{2010}$ ด้วย $11$

7.จงหาค่าของ $1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3$

8.กำหนดให้ $p,q,r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ $0$ .ถ้า$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$ และ $p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$.ผลบวกของ $p+q+r+s$ เท่ากับเท่าไหร่

9.ให้ $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันห้าจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับ
$(4-a)(4-b)(4-c)(4-d)(4-e)=12$
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e$

10. ถ้า $N=1+11+111+...+\underbrace{111...111}_{2010 ตัว} $ แล้ว จงหาเลขห้าหลักท้ายของ $N$

11.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $100 \leqslant n \leqslant 400$. ถ้า $\frac{n^3-99}{n^3-92}$ ไม่ใช่เศษส่วนอย่างง่าย จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่ามีกี่จำนวน
(ข้อ 11.ไม่มั่นใจว่าเข้าใจโจทย์ถูกหรือไม่ คำว่า simple fraction แปลเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ซึ่งไม่แน่ใจความหมายคือ ยังมีตัวประกอบร่วมกันได้ใช่หรือเปล่า)

ข้อสอบปี 2010.....

ข้อสอบปี2011

พรุ่งนี้จะเข้ามาแปะเฉลยครับ เชิญลุยกันได้เลยครับ

เฉลย
ข้อ2.มี 2 วิธี วิธีแรกที่ทำกันในนี้
ข้อ3....แปลงรูปสมการอย่างที่ทำกันครับ
ข้อ6...ใช้Fermatt's Little Theorem $9^{10} \equiv1 \pmod{11} $
ข้อ 7,9....เฉลยแบบเดียวกับที่ทำในกระทู้
ข้อ8....แก้สมการธรรมดา
ข้อ10...ทำแบบที่ลุงBankerอธิบาย