อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer
เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...
4.
$a,b,c>0$ and $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ show that
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$
Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
 หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ |
กลับมาค้นกระทู้เก่าๆดูเลยมาเห็น ยังไม่มีใครทำเลยงั้นผมขอข้อง่ายก่อนแล้วกันนะครับ
โดย AM-HM จะได้
$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{3}{a+b+c}----(1)$
โดย AM-GM จะได้ว่า
$\sum_{cyc}(ab)^2\geq abc(a+b+c)\leftrightarrow (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{3abc}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\leftrightarrow \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} $
จาก $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
จะได้ว่า $\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{abc}$
$\therefore \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\geq \frac{1}{abc}----(2)$
$(1)+(2)\times 2$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$
แต่ $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
ดังนั้น $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$ ตามต้องการ
ปล ผมมีข้อสงสัยอยู่ครับว่า $\sum_{cyc}(a^3c^2)\geq\sum_{cyc}a^3bc$ ทำไมถึง Weight AM-GM ไม่ออกอ่ะครับ