[Thgx0312555]

6. Alternate Sol ครับ
$x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx$
สมมติ $x \ge y \ge z$

$x^2+y^2+z^2-2xy-2zx+2yz=4yz$
$(x-y-z)^2=4yz$
$x-y-z=\pm 2\sqrt{yz}$
$x=y \pm 2\sqrt{yz} +z$
$\sqrt{x} = \sqrt{y} \pm \sqrt{z}$

แต่จาก $x$ มากที่สุด
$\sqrt{x} = \sqrt{y} + \sqrt{z}$
เอาไปแทนใน $xyz = \frac{1}{2}$ จะได้ไม่ยากว่า $yz \le \frac{1}{4},x \ge 2 \quad (\ast)$
ต่อมา
$\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z}=0$
ยกกำลังสอง
$x+y+z= 2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{xyz}\sqrt[4]{x}-2\sqrt{yz} \ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\sqrt[4]{2}-2\sqrt{\frac{1}{4}}=4-1=3$

สมการเกิดเมื่อ $x,y,z$ สอดคล้องกับ $(\ast)$ และ $y=z$ หรือ permutation ครับ