[gon]

เข้าใจว่าโจทย์เป็น x⁸ - x⁵ + x² - x + 1 ณ 0 นะครับ.

หลักการแก้อสมการโดยทั่วไปก็คือ ซ้ายมือแยกตัวประกอบ ขวามือเป็น 0 ในขั้นแรกเราจึงคาดหวังว่าจะแยกตัวประกอบได้ ถ้าให้ f(x) = x⁸ - x⁵ + x² - x + 1 = 0 โดยทฤษฎีบทคำตอบตรรกยะ (Rational Root Theorem) คำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะคือ -1 กับ 1 แต่ f(1) และ f(-1) น 0 แสดงว่า คำตอบของสมการดังกล่าวถ้าจะมี ก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ หรือ จำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากเป็นสมการกำลัง 8 อีกทั้ง สมการก็ไม่สมมาตร เราจึงไม่คาดหวังว่าจะแยกตัวประกอบออกมาง่าย ๆ ด้วยวิธีใด ๆ เราจึงเปลี่ยนแนวคิดใหม่ โดยการคาดหวังว่า จะสามารถมองคำตอบได้ออกจากอสมการเลย

ถ้าจัดรูปอสมการใหม่เป็น x⁸ + x² + 1 - x(1 + x⁴) ณ 0 จากอสมการนี้ ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม .... (เติมเอาเอง) จะได้ว่าอสมการเป็นจริงอย่างแน่นอน เราจึงมีคำตอบชุดแรกเล้ว

ในขณะเดียวถ้า x = 0 จะทำให้ อสมการเป็นจริงด้วย ดังนั้น คำตอบรวมจากชุดที่แล้วจึงเป็น .......

เมื่อจัดรูปใหม่เป็น x⁵(x³ - 1) + x(x - 1) + 1 ณ 0 เราก็จะมองออกอีกเช่นกันว่าถ้า x ณ ..... แล้วอสมการจะเป็นจริงเสมอ

จึงเหลือช่วงที่ยังมิได้พิจารณาอีกนิดเดียวคือ ช่วง ..... < x < ..... ซึ่งถ้าจัดรูปอสมการใหม่เป็น
( x⁸ - x⁵ + x² ) - ( x - 1 ) ณ 0 หรือ
x² [ x³(x³ - 1) + 1 ] - (x - 1) ณ 0
แต่ค่าของ x ที่เราพิจารณาอยู่คือช่วง .... < x < ......
เมื่อพิจารณาเครื่องหมายของ x³(x³ - 1) + 1 และ -(x - 1) จะได้ว่ามีค่าเป็น .... เสมอ ดังนั้นสรุปได้ว่าอสมการจะเป็น ........ เสมอ ในช่วงดังกล่าว

สรุปจาก 3 กรณีจะได้คำตอบชองอสมการนี้คือ เซต ................

ดังนั้น R - S = เซต .............