ลองคิดดูแล้วครับ. โดยส่วนตัวคิดว่ายากกว่าของ สสวท. รอบแรก หลายข้อดูเหมือนง่าย แต่พอทำจะติดปัญหาจุกจิกเล็กน้อยกวนใจ อย่างข้อ 4 วันแรก ดูเหมือนง่าย แต่พอทำ ๆไปก็ติดสมการกำลังสี่ ก็พยายามนั่งมองว่ามันจะแยกตัวประกอบง่าย ๆ อย่างไรก็ไม่เจอ คิดมากเสียเวลา เลยทำไปตามแบบวิธีการแก้สมการกำลังสี่เสียเลย เป็นแบบนี้หลายข้อ คือโดยหลักการน่ะ sol ได้ แต่จะ sol อย่างไร. ถ้าโจทย์สนใจเฉพาะคำตอบก็อาจจะง่ายหน่อย แต่ถ้าสนใจหลักการแก้ที่ถูก 100% หลายข้อคงต้องแสดงวิธีการพิสูจน์อย่างมีหลักการ ถ้าใครแก้ปัญหาทุกข้อแบบ Elementary ได้ โดยไม่มีความรู้อะไรมาก ผมขอนับถือจริง ๆ
ทุกข้อที่คุณคิดด้วยคนเขียน คำตอบก็ตรงกับผมหมด แต่วิธีคิดจะต่างกันเสียส่วนใหญ่ มีบางข้อผมยังไม่ได้ทำ
อย่างไรก็ดี ผมลองนำข้อที่ 3 วันที่ 2 มาแปะไว้ ใครว่างก็ลองช่วยตรวจดูที ว่าแนวคิดที่ให้ไว้ มีบกพร่องตรงไหนหรือไม่อย่างไร. เพราะเรื่อง combinatorics เราคงต้องละเอียดกันที่สุด ลองดูนะครับ.
ให้ <1, 2, 3, ... , n> แทนการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิก 1, 2, 3, ... , n
ให้ f(n) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n ตัว ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด(ตามเงื่อนไขของโจทย์) จะได้ว่า
f(n - 1) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n - 1 ตัว
พิจารณาจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ในลำดับ 1, 2, ... , k - 1, k, k + 1, ... , n - 1, n ซึ่งมี n ตัว จะหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(n) และ f(n - 1) ดังนี้
สมมติว่า k อยู่หน้าสุด จะได้ว่า จำนวนเต็มบวกที่เหลือ n - 1 สิ่ง จะสลับกันอย่างมากที่สุด f(n - 1) ครั้ง เมื่อจัดเรียงแล้วก็จะได้เป็น <k, 1, 2, ... , k - 1, k + 1, ... , n> ซึ่งก็จะได้ว่าจะต้องทำการสลับอีก k - 1 ครั้ง จึงจะได้เป็น <1, 2, ... , k - 1,k, k, + 1, ... , n> ซึ่งจะสลับมากครั้งที่สุดเมื่อ k = n กล่าวคือเอา n มาอยู่หน้าสุดเป็น <n, 1, 2, ... , n - 1>
\ f(n)
ฃ f(n - 1) + (n - 1)
ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เมื่อ พิจารณาแบบเดียวกันกับของ n - 1 ชิ้นคือ 1, 2, ... , n - 1 จะได้ว่าจะสลับมากที่สุดเมื่อ n - 1 อยู่หน้าสุด กล่าวคือเป็น <n - 1, 1, 2, ... , n - 2>
\ วิธีการสลับแล้วได้จำนวนครั้งมากที่สุด จะเกิดเมื่อเรียงของจากมากที่สุดไปน้อยที่สุด คือเป็น <n, n - 1, ... , 2, 1> แต่ถ้าของเรียงอยู่แล้ว คือ <1, 2, ... , n> จะได้จำนวนการสลับเท่ากับศูนย์
f(n)
ฃ f(n - 1) + (n - 1)
\ f(18)
ฃ f(17) + 17
ฃ f(16) + 17 + 16
ฃ ...
ฃ f(3) + 17 + 16 + ... + 3 = f(3) + 150
แต่โจทย์บอกว่าสลับไปทั้งหมด 150 ครั้ง แสดงว่าของ 3 ชิ้นสุดท้ายนั้นจำนวนวิธีการสลับเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ของ 3 ชิ้นสุดท้ายจะเรียงจากน้อยไปมากอยู่แล้ว ส่วนของก่อนหน้านี้จะต้องเรียงในแบบที่ก่อให้เกิดจำนวนการสลับมากครั้งที่สุด
นักเรียนจึงเข้าแถวได้เพียงแบบเดียว คือ หัวแถวเรียงจากคนสูงสุดลงมา จน 3 คนสุดท้ายค่อยเรียงจากน้อยไปมาก กล่าวคือเป็น <18, 17, 16, ... 15, 1, 2, 3>