[Thgx0312555]

Pre-TMO Combi ครับ

1. ให้ $(a_1,a_2,...,a_{20})$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ให้ $m$ เป็นจำนวนของ $(a_i,a_j,a_k)$ ซึ่ง $1 \le i < j < k \le 20$ และ $a_j=a_i+1$, $a_k=a_j+1$ จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $m$

2. นรินมีป้ายตัวเลขอยู่ $2n \ (n \ge 1)$ ป้าย เขียนตัวเลขต่างกันทั้งหมด นรันจะอ่านป้ายแล้วเลือกตัวเลขหนึ่งมา จากนั้นทั้งคู่จะเล่นเกมต่อไปนี้ ในแต่ละวินาทีนรินจะชูแผ่นป้าย $n$ แผ่นให้นรันดูแล้วถามนรันว่าตัวเลขที่นรันเลือกอยู่ในแผ่นป้ายเหล่านี้หรือไม่

จงพิสูจน์ว่านรินจะมีวิธีที่จะสามารถรู้ได้เสมอว่านรันเลือกตัวเลขอะไรภายในวินาทีที่ $k \ (k \ge 1)$ ก็ต่อเมื่อ $n \le 2^{k-1}$

3. ในการแข่งขันปิงปองแบบพบกันหมดโดยแต่ละคู่แข่งกัน $1$ ครั้ง กำหนดให้มีผู้เข้าแข่งขัน $n$ คน สำหรับคนที่ $i,j$, $1 \le i < j \le n$ กำหนดให้ $W(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่ชนะในการแข่งนี้ และ $L(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่แพ้ในการแข่งนี้ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle \sum_{1 \le i <j \le n} W(i,j)=\sum_{1 \le i <j \le n} L(i,j)$