อ้างอิง:
|
11) จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^n$ หาร $1005!$ ลงตัว มีค่าเท่าใด
|
นั้นคือ หาว่า $1005!$ มี 0 ต่อท้ายกี่ตัว
หรือก็คือหาว่า $1005\times 1004\times 1003 \times .. \times 1000 \times .. \times 990 \times .. \times 980 \times .. \times 900 \times .. \times 800 \times .. \times 100 \times .. \times 3 \times 2 \times 1$
แต่ละตัวที่มาคูณกันนั้น มี 0 กี่ตัวบ้าง แล้วมารวมกัน
ลงท้ายด้วย 0 จำนวน 3 ตัว มี 1000 ตัวเดียว รวมจำนวน 0 ได้ 3 ตัว
ลงท้ายด้วย 0 จำนวน 2 ตัว มี 100, 200, 300, โโ‚ฌฆ 900 รวม 9 ตัว รวมจำนวน 0 ได้ 18 ตัว
ลงท้ายด้วย 0 ตัวเดียว เอาจำนวนที่ลงท้ายด้วย 0 อย่างน้อย 1 ตัว ลบออกด้วย จำนวนที่ลงท้ายด้วย 0 มากกว่า 1 ตัว นั้นคือ 10, 20,โโ‚ฌฆ,100, 110,โโ‚ฌฆ, 990, 1000 ได้ 100 ตัว เอามาลบ (9+1) ได้ 90 ตัว
รวมทั้งหมด ได้ n = 90+18+3 = 111
พลาดครับ ต้องหาว่า ถูกหารด้วย $2^k5^m$ มากสุด เท่าไหร่ (5! ก็ลงท้ายด้วย 0 แล้วครับ)
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1005 ถูกหารด้วย $5$ ลงตัว มีจำนวน = floor(1005/5) = 201 ตัว มีจำนวนเลข 5 รวม 201 ตัว
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1005 ถูกหารด้วย $5^2$ ลงตัว มีจำนวน = floor(1005/25) = 40 ตัว แต่จำนวนเลข 5 ถูกหารไปในรอบ 1005/5 แล้ว จึงเหลือ 5 อยู่ 40 ตัว
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1005 ถูกหารด้วย $5^3$ ลงตัว มีจำนวน = floor(1005/125) = 8 ตัว แต่จำนวนเลข 5 ถูกหาร(ถูกใช้)ไปในรอบก่อนหน้าแล้ว ทั้ง $5$ และ $5^2$ จึงเหลือ 5 อยู่หนึ่งตัวต่อตัวเลขที่ถูกหารด้วย $5^3$ ลงตัว
ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1005 ถูกหารด้วย $5^4$ ลงตัว มีจำนวน = floor(1005/625) = 1 ตัว แต่จำนวนเลข 5 ถูกหาร(ถูกใช้)ไปในรอบก่อนๆ หน้าแล้ว เหลือ 5 อยู่หนึ่งตัวต่อตัวเลขที่ถูกหารด้วย $5^4$ ลงตัว
ส่วน $5^5 = 3125 > 1005$ จึงหยุดการหารต่อ รวมจำนวนเลข 5 มีทั้งหมด = 201+40+8+1 = 250 ตัว
ส่วนเลขสองนั้น เป็นตัวประกอบในตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 1005 จำนวน floor(1005/2)=502 เกินพอที่จะคูณกับ 5 แล้วได้ 10
คำตอบคือ n=250