[kimchiman]

14. โดยไม่เสียนัยทั่วไป กำหนดให้$m\geqslant n$
สมมติให้ $n \geqslant 3$
ทำให้$m \geqslant n \geqslant 3$
นั่นคือ $m\geqslant 3 และ n\geqslant 3$
$\frac{1}{m}\leqslant \frac{1}{3} และ \frac{1}{n}\leqslant \frac{1}{3}$
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leqslant \frac{2}{3}$ ซึ่งขัดแย้ง
ดังนั้น 0<n<3 , n=2
จาก $\frac{2}{3}<\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$
$\frac{2}{3}<\frac{1}{m}+\frac{1}{2}<1$
$\frac{1}{6}<\frac{1}{m}<\frac{1}{2}$
นั่นคือ 2<m<6
ดังนั้นค่าสูงสุดของ m คือ 5
m+n=5+2=7