[Thgx0312555]

13. อีกวิธีครับ
แปลงโจทย์เป็น
สุ่มจำนวนจริง $x,y,z \in (0,1)$ ซึ่ง $x+y+z=1$ จงหาความน่าจะเป็นที่ $x+y \ge z, y+z \ge x, z+x \ge y$

นั่นคือหาความน่าจะเป็นที่ $x,y,z \le \frac{1}{2}$

$P(x,y,z \le \frac{1}{2}) = 1-P(x \ge \frac{1}{2})-P(y \ge \frac{1}{2})-P(z \ge \frac{1}{2})$ (เหตุการณ์ทั้งสาม disjoint)

สำหรับวิธีการคำนวณ $P(x \ge \frac{1}{2})$ มองกลับเป็นการแบ่งไม้เป็น 3 ท่อน
ถ้าจะให้แบ่งแล้ว $x \ge \frac{1}{2}$ จุดแบ่งทั้งสองจุดต้องอยู่ในครึ่งหลังของท่อนไม้ เนื่องจากจุดแบ่งทั้งสองสามารถคิดเป็นอิสระต่อกัน (แบ่งครั้งแรกไม่ส่งผลต่อการแบ่งครั้งที่สอง)

$P(x \ge \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
แต่ $P(x \ge \frac{1}{2})=P(y \ge \frac{1}{2})=P(z \ge \frac{1}{2})$ by symmetry
$P(x,y,z \le \frac{1}{2})=1-3(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

another idea

จริงๆสามารถสร้าง bijection ระหว่างกรณีทั้ง 4 ได้
$(a+\frac{1}{2},b,c) \leftrightarrow (a,b+\frac{1}{2},c) \leftrightarrow (a,b,c+\frac{1}{2}) \leftrightarrow (\frac{1}{2}-a,\frac{1}{2}-b,\frac{1}{2}-c)$ when $a+b+c=\frac{1}{2}, a,b,c >0$

แต่เสียดายที่เซตอนันต์ไม่สามารถใช้ bijection แบบตรงๆแบบนี้ได้ มิฉะนั้นเราก็สามารถ bijection กับกรณีทั้งหมดได้ด้วย $(2a,2b,2c)$

อาจจะไปทำอะไรสักอย่างต่อได้ครับ