[tunococ]

ข้อ 6 ก็ดูจากวิธีทำอันเก่าของผมได้ครับ ถ้าเอา 1996 ลงไปแทนที่ 1966 ก็จะได้ n = 500 เป็นคำตอบครับ

แต่คิดน้อย ๆ หน่อยก็ได้ครับ (ของเดิมคิดยาวเพราะจะพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ)

กรณีที่ทั้งสองพจน์เป็นจำนวนเต็ม จะไม่มีคำตอบ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเดียวกับที่เคยเขียนไปแล้ว

อีกกรณีนึง เราต้องพยายามทำให้พจน์แรกอยู่ในรูป \(k + \sqrt{n-1}\) ซึ่งจะเริ่มต้นได้โดยการพยายามแกะกรณฑ์ซ้อนสองชั้น ให้กลายเป็นชั้นเดียว

จากโจทย์
\[
\sqrt{n + \sqrt{1996}} - \sqrt{n - 1} = \sqrt{n + 2\sqrt{499}} - \sqrt{n - 1}
\]

และจากสิ่งที่รู้อยู่แล้ว
\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}
\]หรือก็คือ\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}
\]

จะเห็นว่า เราจะสามารถถอนกรณฑ์ออกได้ชั้นนึง ถ้าสามารถหา \(a\) กับ \(b\) ได้ตรงเงื่อนไขต่อไปนี้
\[
\begin{eqnarray}
a + b & = & n \rightarrow a + b \ เป็นจำนวนเต็ม \\
ab & = & 499
\end{eqnarray}
\]
พอลองเอาจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 19 ไปหาร 499 ดูแล้วมันไม่ลงตัวเลย ก็เลยรู้ว่า 499 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจึงสามารถกำหนดให้ \(a = 499, b = 1\) ได้เลย จะได้ค่า \(n = 500\)

ลองแทนค่ากลับในสมการแรกเพื่อตรวจสอบ จะเห็นว่า
\[
\sqrt{500 + 2\sqrt{499}} - \sqrt{500 - 1} = \sqrt{499} + \sqrt{1} - \sqrt{499} = 1
\]เป็นจำนวนเต็ม

จากข้อนี้ เราอาจจะได้ข้อสังเกตอีกอย่างนึง ก็คือ
\[
\sqrt{(n + 1) + 2\sqrt{n}} - \sqrt{n} = 1
\]ซึ่งถ้าเรารู้เรื่องนี้อยู่แล้ว ก็จะทำข้อนี้ได้เร็วขึ้น

ป.ล. อย่างไรก็ตาม ในโจทย์ถามถึงค่า \(n\) ที่มากที่สุด ดังนั้นถึงเราจะรู้ข้อสังเกตนี้ ก็ไม่ยืนยันคำตอบว่าเป็นค่าที่มากที่สุด ... โชคดีที่มันมี \(n\) แค่ค่าเดียวเพราะ 499 เป็นจำนวนเฉพาะ