การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสี่
ขอยกตัวอย่างเลยล่ะกัน ส่วนทฤษฎีผมแปะไว้ให้แล้วครับ ใครสนใจก็เจาะลงไปได้เลยครับ เช่นถามว่าจงแยกตัวประกอบของ
$x^4-x^3+5x-3$ ก่อนอื่นเลยตามปกติเราก็ใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบตรรกยะ สำหรับพหุนามนี้จะเห็นว่าไม่มีตัวประกอบจำนวนตรรกยะสักตัว ให้ทำตามนี้เลยครับ
$1.$ จัดรูปพหุนามกำลัง4 ให้พจน์ $x^3$ หายไป (ถ้าใครไม่รู้ว่าทำยังไง ก็ดูที่แปะนะครับ) จะได้
$x^4-x^3+5x-3=(x-\frac{1}{4})^4-\frac{3}{8}(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{39}{8}(x-\frac{1}{4})-\frac{451}{256} $
จะได้ $a_2=-\frac{3}{8} ,a_1=\frac{39}{8} ,a_0=-\frac{451}{256} $
$2. $สร้างพหุนาม $P$........$P^3+2a_2P^2+(a_2^2-4a_0)P-a_1^2=0$
จะได้.......$P^3-\frac{3}{4} P^2+\frac{115}{16} P-(\frac{39}{8}) ^2=0$
แก้สมการกำลัง3......ใช้ทฤษฎีบทรากจำนวนตรรกยะได้รากสมการหนึ่งเป็น $\frac{9}{4}$ .....$P_0=\frac{9}{4} $
แสดงว่าพหุนาม $x^4-x^3+5x-3$ แยกตัวประกอบได้
$3.$ หาค่า $p=\sqrt{P_0} =\sqrt{\frac{9}{4} }=\frac{3}{2} $
$q_1=\frac{1}{2}( p^2+a_2+\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}+\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} } ) =\frac{41}{16} $
$q_2=\frac{1}{2}( p^2+a_2-\frac{a_1}{p} ) =\frac{1}{2}(( \frac{3}{2})^2-\frac{3}{8}-\frac{\frac{39}{8} }{\frac{3}{2} }) =-\frac{11}{16} $
$4.$ $x^4-x^3+5x-3$
$=((x-\frac{1}{4})^2-p(x-\frac{1}{4})+q_1)((x-\frac{1}{4})^2+p(x-\frac{1}{4})+q_2)$
$=((x-\frac{1}{4})^2-\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})+\frac{41}{16} )((x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{2} (x-\frac{1}{4})-\frac{11}{16})$
สรุปว่า $x^4-x^3+5x-3=(x^2-2x+3)(x^2+x-1)$
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|