[กิตติ]

ข้อ1...$S= \frac{1^2}{1.3}+ \frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} $
ผมมองได้สองแบบ
แบบแรกได้ไอเดียจากเฉลยของคุณKowit Pat.ที่มองว่า$\frac{1}{1.3}=2[\frac{1}{3}-\frac{1}{5} ] $
จะได้ว่า$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =2[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} ]$



จากวิธีทำของคุณKowit Pat.ในบรรทัดที่3 ผมจัดรูปแบบอีกหน่อยน่าจะมองง่ายขึ้นเป็น
$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1} -\frac{1}{3}+\frac{2^2}{3}-\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{5}-\frac{3^2}{7}+...+\frac{n^2}{2n-1}-\frac{n^2}{2n+1} \right\} $

$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1}+ (\frac{2^2}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+...+(\frac{n^2}{2n-1}-\frac{(n-1)^2}{2(n-1)+1} )-\frac{n^2}{2n+1} \right\}$

พิจารณาตรงนี้ก่อน
$(\frac{2^2}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+...+(\frac{n^2}{2n-1}-\frac{(n-1)^2}{2(n-1)+1} )$

$=\frac{1}{3}(1+2)+\frac{1}{5}(2+3)+\frac{1}{7}(3+4)+...+\frac{1}{2n-1}(2n-1)$
ทั้งหมด $n-1$ จำนวน เพราะ พจน์แรกกับพจน์ท้ายไม่ได้ถูกเอามาจับคู่
$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1}+ n-1-\frac{n^2}{2n+1} \right\}$
$=\frac{1}{2}(n-\frac{n^2}{2n+1} ) $
$=\frac{n}{2}(1-\frac{n}{2n+1} )$
$=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$....จริงๆผมขยายความมากกว่า เฉลยไปตามนั้น

วิธีที่สองที่ผมมอง ผมแปลงพจน์ที่ $n$ เป็น $\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\frac{1}{4} (4n^2-1)+\frac{1}{4}}{4n^2-1} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4(4n^2-1)} $

มาพิจารณา$\frac{1}{(4n^2-1)}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2} (\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} ) $
$\frac{1}{4(4n^2-1)} = \frac{1}{8}(\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} ) $

$\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{4}+\frac{1}{8}(\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} )$

$S=\frac{n}{4}+\frac{1}{8}(1-\frac{1}{(2n+1)} )$
$=\frac{n}{4}+\frac{n}{4(2n+1)}$
$=\frac{n}{4} (1+\frac{1}{(2n+1)})$
$=\frac{n}{4}(\frac{2n+2}{(2n+1)} )$
$=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)} $