[ACFEGIN]

ข้อ 10 จาก A.M.-G.M.
$$\sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{c+a}{b}} \geq 3 \sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \geq 3\sqrt[6]{8}$$

ให้พจน์ที่เหลือเป็น $X$
จากโคชี่ได้ว่า $$[a^2(b+c+d) + b^2(c+d+a) + c^2(d+a+b) + d^2(a+b+c)]X \geq (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = 16$$

ดังนั้น $$X \geq \frac{16}{a^2(b+c+d) + b^2(c+d+a) + c^2(d+a+b) + d^2(a+b+c)]}$$ $$= \frac{16}{(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) - (a^3+b^3+c^3+d^3)}$$

จาก Power Mean จะได้ว่า $a+b+c+d \leq 4$ และ $a^3+b^3+c^3+d^3 \geq 4$

ดังนั้น $$X \geq \frac{16}{4 \cdot 4 - 4} = \frac{4}{3}$$

ดังนั้นค่าต่ำสุดของพจน์ที่ให้มาคือ $\displaystyle \frac{4}{3} + 3 \sqrt{2}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $a=b=c=d=1$