[ohmohm]

ข้อ 3

ขอพิสูจน์ก่อนว่า ถ้า a ลงท้ายด้วย 1 (นั้นคือหารด้วย 10 ได้เศษ 1) และ a หารด้วย m ได้เศษ 1 แล้ว $a^{10}$ หารด้วย 10m จะได้เศษ 1

จากที่กล่าวมา a หารด้วย m ได้เศษ 1 ก็จะมี k เป็นจำนวนเต็ม ที่ทำให้
$a=1+mk$
$a-1=mk$
$(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)=mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$a^{n}-1=mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
$a^{n}=1+mk(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$

ถ้า n=10 เนื่องจาก a ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไร ก็จะลงท้ายด้วย 1 และถ้าบวกกัน 10 ตัว ก็จะลงท้ายด้วย 0 นั้นคือ $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$ หารด้วย 10 ลงตัว ผลหารนั้นกำหนดเป็น q จะได้
$a^{n}=1+10mkq$

นั้นคือ $a^{10}$ หารด้วย 10m จะได้เศษ 1 เมื่อ a ลงท้ายด้วย 1

เนื่องจาก a หารด้วย 10 แล้วจะได้เศษ 1 (เพราะกำหนดให้ a ลงท้ายด้วย 1) และจากการพิสูจน์ที่กล่าวมา ก็จะพบว่ามี n ที่ทำให้ $a^n$ หารด้วย 100, 1000, 10000, ... จะได้เศษ 1 ด้วยเช่นกัน

เนื่องด้วยว่า $3^4 = 81$ ... (ไปต่อจากนี้เองได้นะครับ)