ข้อ 27. ขอเสนออีกวิธีหนึ่งที่ใช้คณิตศาสตร์ไม่เกิน ม.ต้น นะครับ
ลากเส้นผ่านจุด E ขนานกับ BC ได้เส้น HL , ลาก EF , FG , GE
สังเกตได้ไม่ยากว่า สามเหลี่ยม EFG เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านทุกด้านยาว 2 หน่วย
และสี่เหลี่ยม CKEL เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านทุกด้านยาว 1 หน่วย
และสามเหลี่ยม AFG เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี AG = AF
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส $FG^2 = AG^2 + AF^2$
$2^2 = AF^2 + AF^2$
ดังนั้น$AF = \sqrt{2}$
เนื่องจาก CK = KE = BH = 1
ดังนั้น AF + FH = AH = AB - BH = BC - CK = BK = EH ..........(1)
สมมติให้ FH = x
พิจารณาสามเหลี่ยม EFH ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
$EF^2 = FH^2 + EH^2$
$2^2 = x^2 + EH^2$
$EH^2 = 4 - x^2$
จาก (1)
$AF + FH = EH$
$(AF + FH)^2 = EH^2$
$(\sqrt{2}+x)^2 = 4 - x^2$
$2 + 2\sqrt{2}x + x^2 = 4 - x^2$
$x^2 + \sqrt{2}x - 1 = 0$
$x = \frac{-(\sqrt{2})+\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
ดังนั้น เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม = 4 คูณ ความยาวแต่ละด้าน
$ = 4 \times (AF + FH + HB) = 4 \times (\sqrt{2} + \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} + 1)$
$ = 4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{6} = a + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} $
ดังนั้น a + b + c = 4 + 2 + 6 = 12
|