[FranceZii Siriseth]

เวลาทำข้อสอบ $4$ ชม.

$Logic$ $and$ $Proof$
1.จงแสดงว่า $x+y+xy$ เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนคู่
2.ถ้ามีของ $2n+1$ ชิ้น และมีกล่อง $n$ กล่อง จงแสดงว่าจะต้องมีอย่างน้อย $1$ กล่องที่มีของ $3$ ชิ้น
3.$a_{n}$= $\frac{n-1}{n}$$(a_{n-2})$ ,$a_{1}=1$,$a_{2}=\frac{1}{2} $ จงแสดงว่า $a_{n} > \frac{1}{n} $ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
4.$f(f(x))=x$ จงแสดงว่า $f$ $is$ $a$ $bijection$

$Number$ $Theory$
1.จงแสดงว่า $3\mid n(n^2+1)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
2.$a_{n}=n^7-n$ จงหาค่า $gcd(a_{1},a_{2},...,a_{100})$
3.จงแสดงว่า $10\mid 3^{3n+1} +2^{n+1} +5^{2n-1}$สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
4.จงแสดงว่ามีจำนวนมากมายอยู่เป็นอนันต์ที่ทำให้ $4^{n}+7$ เป็นจำนวนประกอบ


$Combinatorics$
1.ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก จำนวน $4$ ครั้ง จงหาจำนวนวิธี
$\quad1.1 \ ไม่มีเงื่อนไขใด$
$\quad1.2 \ แต้มเหมือนกัน$
$\quad1.3 \ ผลบวกแต้มเท่ากับ \ 9 $
$\quad1.4 \ ผลบวกแต้มเท่ากับ \ 12$
2.มีลูกบอล $12$ ลูก สีแดง $3$ ลูก สีน้ำเงิน $4$ ลูก สีเหลือง $5$ ลูก นำมาเรียงเป็นเส้นตรง
$\quad2.1\ เรียงธรรมดา$
$\quad2.2\ ลูกบอลสีเหลืองอยู่ติดกัน$
$\quad2.3\ ลกบอลสีเหลืองสองลูกใดใดไม่ติดกัน$
3.มีลูกปิงปองที่ต่างกัน $12$ ลูก แบ่งใส่กล่อง กล่องละ $2,2,2,3,3$ ลูก
$\quad3.1 \ กล่องเหมือนกัน$
$\quad3.2 \ กล่องต่างกัน$
4.จงหาสัมประสิทธิ์หน้า $x^8$ จากการกระจาย $(x+\frac{1}{x})^{12}$
5.จงหาพจน์ทั่วไปของสัมประสิทธิ์หน้า $x^{n}$ เมื่อ $n\leqslant 2013$ ของการกระจาย $(1+2x)^{2013} (1-x)^{2556}$

$Algebra$
1.ให้ $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $x^3+px^2+qx+r$ จงหาพหุนามโมนิกที่มี$ ab,bc,ca$เป็นราก
2.ให้ $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม $x^3+2x^2+2x+1$ จงหาพหุนามโมนิกที่มี $a^3,b^3,c^3$ เป็นราก
3.จงหาพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $P(x)+1=P(x+1)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$
4.จงแสดงว่า $Re((\frac{z^2+1}{z})^2)=0$ เมื่อ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับ $0$

$Geometry$
1.จงแสดงว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดๆหนึ่ง
2.กำหนดให้ส่วนสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมคือ $ AD,BE,CF$ ตัดกันที่จุด $H$
$\quad 2.1 \quad จงแสดงว่า \triangle ABC\sim \triangle AFE \sim \triangle BFD \sim \triangle CDE$
$\quad 2.2 \quad มีวงกลมแนบในสามเหลี่ยมพีเดล$