อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut_suk
59. จงแสดงว่ามีคู่ $(n,k)$ ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน เป็นอนันต์คู่ ซึ่งหรม.ของ $n!+1$ และ $k!+1$ มากกว่า $1$
|
แนวคิดข้อนี้ของผมคือ จาก Wilson's Theorem เรารู้ว่าจำนวนเฉพาะ $p$ หาร $(p-1)!+1$ ลงตัว ดังนั้นเราต้องการ $k\ne p-1$ ที่ $p\mid k!+1$ แต่หาแบบนี้ยาก ผมเลยคิดในมุมกลับแทน คือเลือกให้ $k=a$ แล้วเลือก $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $a!+1$ โดยพยายามให้ $a\ne p-1$ ซึ่งทางหนึ่งก็คือ เลือก $a$ เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่า $1$ ซึ่งจะทำให้มันมี parity ตรงข้ามกับ $p-1$
เมื่อเราได้คำตอบ $(p-1,a)$ มาอันนึงแล้ว เราสามารถสร้างคำตอบอันต่อไปได้โดยวิธีเดียวกัน แต่ที่สำคัญเราต้องแสดงว่า คำตอบใหม่นั้นไม่ซ้ำเดิม ซึ่งทางหนึ่งคือเลือก $k=p$ คำตอบใหม่ก็จะเป็น $(q-1,p)$ เมื่อ $q$ คือตัวประกอบเฉพาะของ $p!+1$ ซึ่งคำตอบใหม่นี้ไม่มีทางซ้ำเดิม เพราะ $p>a$ และ $q>p$ ครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut_suk
60. จงแสดงว่ามีคู่ $(n,k)$ ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน เป็นอนันต์คู่ ซึ่งหรม.ของ $n!-1$ และ $k!-1$ มากกว่า $1$
|
ให้ $n=1$ และ $k>2$ เราจะได้ $\gcd(n!-1,k!-1)=k!-1>1$ ครับ