[warut]

เพื่อความชัดเจนผมขอเขียนโจทย์ใหม่อีกครั้งนะครับ

ให้ P(n) แทนข้อความว่า
"ในกลุ่มของวัวจำนวน n ตัวใดๆ วัวทุกตัวในกลุ่มนั้นจะมีสีเดียวกันหมด"

เรารู้อยู่แก่ใจว่าข้อความที่ว่า "P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n" นั้นเป็นเท็จ

แต่ข้างล่างนี้ผมจะแสดงการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
เพื่อให้เห็นว่าข้อความ "P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n" นั้นเป็นจริง
สิ่งที่โจทย์ถามก็คือให้หาที่ผิดของการพิสูจน์ต่อไปนี้นั่นเอง

แน่นอน P(1) เป็นจริง

ต่อไปผมจะแสดงว่าถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จะเป็นจริงด้วย (k เป็นจำนวนนับ)

ให้ W แทนวัวหนึ่งตัวและ W₁ W₂ W₃ ... W_k-1 W_k W_k+1 แทนกลุ่มของวัว k+1 ตัว

จะเห็นว่ากลุ่มของวัวที่อยู่ในวงเล็บ [ W₁ W₂ W₃ ... W_k-1 W_k ] W_k+1
จะมีสีเดียวกันหมดเพราะเป็นกลุ่มของวัวจำนวน k ตัว

ทำนองเดียวกันกลุ่มของวัวที่อยู่ในวงเล็บปีกกา W₁ { W₂ W₃ ... W_k-1 W_k W_k+1 }
ก็จะมีสีเดียวกันหมดเพราะเป็นกลุ่มของวัวจำนวน k ตัวเช่นกัน

แต่เนื่องจากกลุ่มของวัวขนาด k ตัวทั้งสองกลุ่มนั้นมีสมาชิกร่วมกันอยู่
ดังนั้นกลุ่มของวัวทั้งหมดซึ่งมีขนาด k+1 ตัวย่อมต้องมีสีเดียวกันด้วย!

ผมจะยังไม่เฉลยนะครับเผื่อคนที่เพิ่งจะเข้าใจโจทย์จะได้มีโอกาสคิดบ้าง