ข้อ 48) ตอบ -1
ให้ F(x) = P(x) - Q(x)
จากเงื่อนไข P(n) = Q(n) ทุก n = 1, 2, ... , 2551
แสดงว่า P(n) - Q(n) = 0 ทุก n = 1, 2, ... , 2551
นั่นคือ
F(1) = P(0) - Q(0) = 0
F(2) = P(1) - Q(1) = 0
...
F(2551) = P(2551) - Q(2551) = 0
การที่ F(1) = 0, F(2) = 0, ... , F(2551) = 0 แสดงว่า F(x) มี x = 1, 2, ... , 2551 เป็นรากของพหุนาม
ดังนั้น F(x) = C(x - 1)(x - 2) ... (x - 2551) เมื่อ C เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับ 0
ดังนั้น F(x) = P(x) - Q(x) = C(x - 1)(x - 2) ... (x - 2551) ... (*)
จะหาค่า C ทำได้โดยใช้เงื่อนไขต่อมา คือ P(2552) - Q(2552) = 1
แทน x = 2552 ลงในสมการ (*) จะได้
F(2552) = P(2552) - Q(2552) = C(2551)(2550) .... (1)
ดังนั้น C = 1/2551!
ต่อไปจะหาค่า P(0) - Q(0) ให้แทน x = 0 ลงในสมการ (*) จะได้
F(0) = P(0) - Q(0) = (1/2555!)(-2551!) = -1
|