ข้อ 5. เนื่องจาก L.H.S. เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่า a เป็นจำนวนเต็มด้วย
ให้ a = 30q + r เมื่อ q, r เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ซึ่ง r = 0, 1, 2, ... , 29
เมื่อแทนลงในสมการ จะได้
[15q + r/2] + [10q + r/3] + [6q + r/5] = 30q + r
15q + [r/2] + 10q + [r/3] + 6q + [r/5] = 30q + r
q = r - [r/2] - [r/3] - [r/5]
ถ้า r = 0 จะได้ q = 0 ดังนั้น a = 0
ถ้า r = 1 จะได้ q = 1 ดังนั้น a = 31
...
ถ้า r = 29 จะได้ q = 1 ดังนั้น a = 59
สมมติว่ามีคำตอบ a ที่ซ้ำกัน แสดงว่าจะต้องมี
$a = 30q_1 + r_1 = 30q_2 + r_2$
$\iff 30(q_1 - q_2) = r_2 - r_1$
พิจารณาสมการนี้ จะเห็นว่า $1 \le r_2-r_1 \le 29$ ซึ่งหารด้วย 30 ไม่ลงตัว
แต่ L.H.S หารด้วย 30 ลงตัว สมการดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ นั่นคือ ไม่มี a ที่ซ้ำกันเลย
ดังนั้น a ที่ต่างกันทั้งหมด จึงมี 30 ค่า