9.
เนื่องจาก $2551n$ และ $n$ มีสามหลักสุดท้ายเหมือนกัน
$\therefore 2551n\equiv n\pmod{1000}$
$2550n\equiv 0\pmod{1000}$
ดังนั้นจะมี $k\in\mathbb{Z}$ ซึ่ง
$2550n=1000k$
$51n=20k$
จาก $(20,51)=1$ ดังนั้น $20|n$
จาก $\tau(n)=12=12x1=6x2=4x3=2x2x3$ ดังนั้นสามารถแบ่งกรณีได้ 4 กรณีดังนี้
$(i)n=p^{11}$ สำหรับบางจำนวนเฉพาะ $p$ แต่จาก $p^{11}\geq 2^{11}=2048>400$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
$(ii)n=p_{1}^{5}p_{2}$ สำหรับบางจำนวนเฉพาะ $p_{1}, p_{2}$ ที่แตกต่างกัน
จาก $2^2x5=20|n=p_{1}^5p_{2}$ ดังนั้น $p_{1}=2$ ($\because$ ถ้า $p_{1}\not =2$ แล้ว $p_{2}=2$ หรือ $p_{2}\not =2$ ซึ่งทั้งสองกรณีจะได้ $20\not|n$)
และจะได้อีกว่า $p_{2}=5$ (มิฉะนั้นแล้ว $20\not |n$)
$\therefore n=2^5x5=160$ ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขแรกด้วย
ดังนั้นคำตอบในกรณีที่สองคือ $160$
$(iii)n=p_1^3p_2^2$ สำหรับบางจำนวนเฉพาะ $p_{1}, p_{2}$ ที่แตกต่างกัน
จาก $2^2x5=20|n=p_{1}^3p_{2}^2$ ดังนั้น $p_{1}=2, p_2=5$ หรือ $p_{1}=5, p_2=2$ (มิฉะนั้นแล้ว $20\not |n$)
ดังนั้น $n=2^3x5^2$ หรือ $2^2x5^3=200$ หรือ $500$
แต่จากเงื่อนไขแรกที่ว่า $100\leq n\leq 400$ ดังนั้นคำตอบในกรณีที่สองคือ $200$ เพียงคำตอบเดียว
$(iv)n=p_1^2p_2p_3$ สำหรับบางจำนวนเฉพาะ $p_{1}, p_{2}p_3$ ที่แตกต่างกัน
จาก $2^2x5=20|n=p_{1}^2p_{2}p_3$ ดังนั้น $p_1=2$ และ $p_2$ หรือ $p_3$ เท่ากับ $5$
โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $p_2=5$
ดังนั้นจะได้ $n=20p_3$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p_3$ ใดๆที่ไม่เท่ากับ $2$ และ $5$
แต่จากเงื่อนไขแรกที่ว่า $100\leq n\leq 400$ ดังนั้น
$100\leq 20p_3\leq 400$
$\therefore 5\leq p_3\leq 20$
จำนวนเฉพาะ $p_3$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ $p_3=7,11,13,17,19$ ซึ่งจะได้ $n=20p_3=140,220,260,340,380$
ดังนั้นจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวคือ $n=140,160,200,220,260,340,380$
ดังนั้นผลบวกของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวเท่ากับ $140+160+200+220+260+340+380=1700$