จัดรูป $\tfrac{1}{x^2+3x+8}=\tfrac{1}{(x+\tfrac{3}{2})^2+\tfrac{23}{4}}$ก่อน (เติมให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์) ดังนั้นจะได้ว่า
$$\frac{x}{x^2+3x+8}=\frac{x+\tfrac{3}{2}}{(x+\tfrac{3}{2})^2+\tfrac{23}{4}}-\frac{\tfrac{3}{2}}{(x+\tfrac{3}{2})^2+\tfrac{23}{4}}$$
คราวนี้ก็เปลี่ยนตัวแปรเพื่อความสะดวก โดยให้ $t=x+\tfrac{3}{2}$ คำนวณได้ $dt=dx$ ดังนั้นค่าปฎิยานุพันธ์ที่เราต้องการหาจึงเท่ากับ
$$\int \frac{x}{x^2+3x+8} dx= \int \frac{t}{t^2+\tfrac{23}{4}} dt - \int \frac{\tfrac{3}{2}}{t^2+\tfrac{23}{4}} dt$$
ทั้งสองพจน์มีวิธีจัดการเป็นมาตรฐานอยู่แล้ว สำหรับพจน์หน้า
$$\int \frac{t}{t^2+\tfrac{23}{4}} dt = \int \frac{1}{2} \frac{d(t^2+\tfrac{23}{4})}{t^2+\tfrac{23}{4}}dt =\frac{1}{2} \ln (t^2+\tfrac{23}{4})$$
พจน์หลังเข้ารูป $\arctan x$ ได้ว่า
$$\int \frac{\tfrac{3}{2}}{t^2+\tfrac{23}{4}} dt = \frac{3}{2} \frac{2}{\sqrt{23}} \arctan \frac{2t}{\sqrt{23}}$$
แทนค่า $t=x+\tfrac{3}{2}$ และอย่าลืมค่าคงที่ปฎิยานุพันธ์ สรุปว่าได้
$$\int \frac{x}{x^2+3x+8} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+3x+8) - \frac{3}{\sqrt{23}} \arctan \left(\frac{2x+3}{\sqrt{23}}\right)+C$$
|