อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
5. จงหาจำนวนจริง k ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
|
(Credit : ครึ่งบน inspired by P' noonuii)
เปลี่ยนตัวแปรเป็น x,y,z โดย xyz =1
ดังนั้นอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $ (k+x)(k+y)(k+z) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx) \Rightarrow (x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq 1+2k^3$
อันดับแรก จะพิสูจน์ $k = \sqrt[3]{9} -1 $ เป็นไปได้ (สังเกตว่า $(k+1)^3 =9$)
By AM-GM $ x+y+z \geq 3 >k \,\, , xy+yz+zx \geq 3 >k^2$ ดังนั้น $(x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq (3-k)(3-k^2) $
และ $ (3-k)(3-k^2) = 1+2k^3$ เพราะสมมูลกับ $(k+1)^3 =9$
----------------------------------------------
ต่อไปจะ prove such k maximum
take y = $\frac{1}{x}$ และ z=1
ถ้า k สอดคล้องกับอสมการ $ (k+x)(k+ \frac{1}{x})(k+1) \leq (x+\frac{1}{x}+1)^2$
Take limit x เข้าใกล้ 1 ดังนั้น $ (k+1)^3 \leq 9 $
p.s. มีคนถามผมว่า ไม่ take limit ได้มั้ย คำตอบคือได้ เช่น แทน 1,1,1 เพียงแต่ ผมตอบจากความเคยชินแวบแรก เวลาเห็นโจทย์สไตล์นี้ เพราะ บางข้อ มัน แทน 1,1,1 ไม่ได้ อาจต้องใช้ตัวอย่างละเอียดแล้ว take limit เช่น หาจำนวนจริงบวก c น้อยสุดที่ ทำให้ $$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_k}} < c \sum_{k=1}^n a_k \,\,\, ,\forall a_i>0 $$