ลงฉบับเต็มครับ
1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี $BAC=100$ ต่อด้าน $AB$ ออกไปทาง $B$ ถึง $D,E$ โดยที่ $BC=AD=BE$
จงแสดงว่า $(BC)(DE)=(BD)(CE)$
2. จงหาฟังก์ชั่น $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1$$
ทุกจำนวนจริง $x,y$
3. ให้ $M,N$ เป็นจำนวนเต็มบวก นายพิสุทธ์เดินจากจุด $(0,N)$ ไปยังจุด $(M,0)$ โดยที่
i.) แต่ละก้าวของเขายาว $1$ หน่วย ไปในทิศขนานแกน $X$ หรือแกน $Y$
ii.) ทุก ๆ จุด $(x,y)$ ที่เขาเดินผ่านมีค่า $x\geq 0$ และ $y\geq 0$
iii.) ในแต่ละก้าว เขาจะวัดระยะทางจากตัวเขาไปยังแกนที่เขาเดินขนาน
ถ้าเขาเดินแล้วไกลจากจุดกำเนิดมากขึ้น เขาจะบันทึกระยะทางดังกล่าวเป็นจำนวนบวก
ในทางกลับกัน ถ้าเขาเดินแล้วใกล้จากจุดกำเนิดมากขึ้น เขาจะบันทึกระยะทางดังกล่าวเป็นจำนวนลบ
จงพิสูจน์ว่า หลังจากการเดินเสร็จสิ้นแล้ว ผลรวมระยะทางที่เขาบันทึกได้จะเป็น 0
4. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนเต็มที่
$$P(n)|2557^n+213\times 2014$$
ทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$