[Beatmania]

ฉบับเต็ม วันที่สอง

5. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้

$$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a})\leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$

ทุกๆ จำนวนจริงบวก $a,b,c$

6. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $2p^2-3p-1$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก

7.ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูนโดยที่มีด้าน $AB,CD$ สั้นที่สุดและยาวที่สุดตามลำดับและ $AB\neq CD$

จงแสดงว่ามีจุด $E$ อยู่ระหว่าง $C,D$ โดยที่

"สำหรับจุด $P$ ใดๆ $(P\neq E)$ บนด้าน $CD$ ที่อยู่ระหว่าง $C,D$ ความยาวของ $O_1O_2$ เป็นค่าคงที่"

เมื่อ $O_1,O_2$ เป็น $Circumcenter$ ของ $APD,BPE$ ตามลำดับ

8. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ต้องการสร้างบัตรชุดหนึ่งที่มีเงื่อนไขว่า

i.) ตัวเลขที่ปรากฎบนบัตรอยู่ในรูป $m!$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ii.) สำหรับจำนวนนับ $t$ ใดๆ ที่ $t\leq n!$ เราสามารถเลือกบัตรจำนวนหนึ่งจากบัตรชุดนี้โดยให้ผลรวมของตัวเลขบนบัตรมีค่าเท่ากับ $t$

จงหาว่าการสร้างบัตรชุดนี้จะต้องใช้บัตรอย่างน้อยที่สุดกี่ใบ