อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe
2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$ |
Take y =0 , จะได้ $ f(-1) +f(x)f(0) = -1 $
แต่ constant function ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น f(0) = 0
Take $ y= \frac{1}{x}$ ดังนั้น $ f(x) f(1/x) = 1- f(0) = 1 \,\, ,\forall x \neq 0 .......(1)$
จาก (1) implies f(1) = 1 or -1
Take y= 1 ใน original จะได้ $f(x-1) + f(x)f(1) = 2x-1 ......(2)$
Take $ y = \frac{1}{x-1} $ จะได้ $ f(\frac{1}{x-1})(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} \,\, \forall x \neq 1 .......(3)$
Using (1) ใน (3) ดังนั้น $\frac{1}{f(x-1)}(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} ......(4) $
Using (2) ใน (4) จะได้ $\frac{1}{2x-1-f(x)f(1)}(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} $
ตอนนี้มีแต่ f(x) อย่างเดียวแล้ว
แทน f(1) แต่ละกรณีลงไป แล้ว simplify บรรทัดก่อนหน้า จะได้ $ f(x) = x$ และ $ f(x) = -x^2$
แทนในโจทย์แล้วจริงทั้งสองคำตอบ