อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania
4. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนเต็มที่
$$P(n)|2557^n+213\times 2014$$
ทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$
|
สมมติ P nonconstant
ข้อนี้ ถ้าใครรู้ Well known lemma ที่บอกว่า set of prime divisors ของ P(n) มีเป็นอนันต์ ก็จะกลายเป็นข้อง่ายเลยครับ
เลือกจำนวนเฉพาะ p large ที่ (p,2557) =1 และ p| P(a) for some positive integers a
เพราะ p | P(a+p) - P(a) ดังนั้น p | P(a+p)
แสดงว่า $ p | 2557^a +(213)(2014)$ และ $ p | 2557^{a+p} +(213)(2014)$
ดังนั้น $ p | 2557^{a+p} - 2557^a = 2557^a(2557^p-1) \Rightarrow p | 2557^p-1$
จาก FLT p | 2557 -1 = 2556 Contradiction for p large เป็นอนันต์ที่สามารถเลือกได้
ดังนั้น P must be constant polynomial ,say P(x) = 1 or P(x) = -1