44.
จะแบ่งเป็น 4 กรณี
i)$a+b\geq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ จะได้ $a+b+c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
ดังนั้น LHS=$a+b+c+d+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\geq8$ โดย AM-GM
ii)$a+b\leq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ จะได้ $a+b+c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
ดังนั้น LHS=$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+a+b+c+d\geq8$ โดย AM-GM
iii)$a+b\geq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ แบ่งได้ 2 กรณีย่อยดังนี้
..........iii/1)$a+b+c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
ได้ว่า LHS=$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\geq (\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)+(c+d+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d})\geq 8$ โดย AM-GM
..........iii/2)$a+b+c+d\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
ได้ว่า LHS=$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d+a+b+c+d\geq (\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)+(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+c+d)\geq 8$ โดย AM-GM
iv)$a+b\leq\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$ และ $c+d\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ทำในทำนองเดียวกับกรณีที่ 3
ดังนั้นได้ว่าอสมการโจทย์เป็นจริง
45.
จาก APMO '04 ที่ว่า $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ (สามารถใช้ AM-GM กับ Schur ในการพิสูจน์อสมการนี้)
$\therefore(a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)\geq 9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$
จาก Power Mean ได้ว่า $\sqrt[3]{\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{3}}\geq\dfrac{ab+bc+ca}{3}$ นั่นคือ $9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\geq (ab+bc+ca)^3$
$\therefore (a^6+2)(b^6+2)(c^6+2)\geq (ab+bc+ca)^3$