อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
13.ให้ a,b,c ฮ R+ จงแสดงว่า
\[ \frac{2}{b(a+b)}+\frac{2}{c(b+c)}+\frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}} \]
|
โดยไม่เสียนัย ให้ a
ณb
ณc>0 เราจะได้ \(\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}\le\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}\) ดังนั้น \[2\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
\ge\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}+\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
=\sum_{cyc}\frac{1}{ab}
\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\]อสมการสุดท้ายเป็นจริงโดย AM-GM:\[(a+b+c)^3\ge27abc
\Rightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{ab}\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\] ###
และแล้วก็ข้อถัดไป
14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า
\[\frac{\ln{a}}{(a-b)(a-c)}+\frac{\ln{b}}{(b-c)(b-a)}+\frac{\ln{c}}{(c-a)(c-b)}<0\]