[Slow_Math]

ข้อ 103 กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน
ผมได้เงื่อนไขว่า $a^2>3b^2$ ไม่มั่นใจเหมือนกันครับ

unsure solution

พิจารณา $x+y+z =a$ เนื่องจาก $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน และจาก Am-GM inequality

จะได้ $x+y+z > 3\sqrt[3]{xyz}= 3z$ นั่นคือ $a > 3z $ ทำให้ $a^2>9z^2$ ---(1)

พิจารณา $x^2+y^2+z^2 = b^2$ จาก Am-Gm inequality
จะได้ $x^2+y^2+z^2 > xy+yz+zx = z^2+z(x+y) > z^2+2z^2 = 3z^2$ นั่นคือ $b^2 > 3z^2$ --(2)

นำ (1) หารด้วย (2) จะได้ $a^2 > 3b^2$