อ้างอิง:
|
6) กำหนด $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ $f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$
|
นำ $a^x$ หารทั้งเศษและส่วน
$$f(x)=\frac{1}{1+a^{(\frac{1}{2}-x})}=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{1-2x}}$$
$$f(\frac{n}{x})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{x-2n}{x}}}$$
$$f(\frac{n}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{2001-2n}{2001}}}$$
$$f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{1999}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a })}^{\frac{1997}{2001}}}+...+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1997}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1999}{2001}}}$$
สังเกตว่า $\frac{1}{1+a^n}+\frac{1}{1+(a)^{-n}}=1$
ดังนั้นผลบวกทั้งหมด $=1+1+1+...+1(1000ตัว)=1000$