ดูหนึ่งข้อความ
  #2  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 14:50
บุรุษนิรนาม บุรุษนิรนาม ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 18 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 18
บุรุษนิรนาม is on a distinguished road
Post

สมการเกลียวคู่ช่วยค้นหาเลขจำนวนเฉพาะ
ตอนที่ 2

ปัญหานี้ผู้เขียนจึงลองใช้วิธีคิดทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้มาพิสูจน์

จากโครงสร้างของตัวเลขที่มีลักษณะเกลียวคู่ทางขวามือ เราจะสังเกตพบว่าจำนวนตัวเลขทุกตัวของเลขจำนวนเต็ม 30 ตัว จะมีตัวเลขที่อยู่ในแนวเอียงคล้ายบันไดเวียนหรือเกลียวคู่ 8 ตัว หรือมีเลขเกลียวคู่ของจำนวนเฉพาะ 8 ตัว และมีลักษณะซ้ำๆ กันทุกตัวเลขจำนวนเต็ม 30 ตัว

จากโครงสร้างเกลียวคู่ของตัวเลขดังกล่าว เราก็จะพบสมการที่น่าสนใจดังนี้

เราสามารถเขียนเลขจำนวนเต็มบวกทุกตัวจาก 1 ถึงเลขอนันต์ได้ ด้วยการเขียนเป็นสมการอย่างไรก็ได้ตามแต่ใจปรารถนา ในที่นี้ผู้เขียนได้กำหนดตามโครงสร้างเกลียวคู่ที่ค้นพบ โดยเขียนเป็นสมการอนุกรม เป็น 30n+1, 30n+2, 30n+3, 30n+4, 30n+5, 30n+6, 30n+7, 30n+8, 30n+9, 30n+10,???จนถึง 30n+30 โดยที่ค่า n เท่ากับหรือมากกว่า 0

เมื่อเราแทนค่า n เท่ากับ 0 เราก็จะได้ตัวเลขจำนวนเต็ม 1-30 แทนค่า n เท่ากับ 1 ก็จะได้เลข 31-60

แทนค่า n เท่ากับ 2 ก็จะได้เลข 61-90......เราสามารถแทนค่า n ด้วยเลขใดก็ได้จนถึงเลขอนันต์ จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขจำนวนเต็มทุกตัวจนถึงเลขอนันต์

จากสมการของเลขจำนวนเต็มบวกดังกล่าวนี้ เราสามารถแบ่งเป็นกลุ่มย่อยได้ 5 กลุ่มย่อย โดยมีความสัมพันธ์กับเลขจำนวนเฉพาะ และเลขจำนวนประกอบดังนี้

1.เลข 1 เป็นเลขที่มีลักษณะพิเศษที่ไม่ถือว่าเป็นเลขจำนวนเฉพาะและไม่ใช่เลขจำนวนประกอบใด ได้จากสมการ 30n+1 โดยที่ค่า n มีค่าเป็น 0

2.กลุ่มที่ 2 เป็นกลุ่มตัวเลขจำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว คือ 30n+2, 30n+4, 30n+6, 30n+8, 30n+10,........ โดย n มีค่าเป็นเลขจำนวนเต็มเท่ากับหรือมากกว่า 0 เพราะ 30n+2 = 2(15n+1), 30n+4 = 2(15n+2), ซึ่งมี 2 มาหารลงตัว

เลขจำนวนเต็มบวกในกลุ่ม 2 นี้ จึงเป็นเลขจำนวนประกอบ ยกเว้นในกรณีที่ 30n+2 และค่า n=0 จะได้ผลลัพธ์เป็นเลข 2 ซึ่ง 2 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ

3.กลุ่มที่ 3 เป็นกลุ่มตัวเลขจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว คือ 30n+3, 30n+6, 30n+9, ........ n มีค่าเป็นเลขจำนวนเต็มเท่ากับหรือมากกว่า 0 เพราะ 30n+3=3(10n+1), 30n+6=3(10n+2), 30n+9=3(10n+3),........มี 3 มาหารได้ลงตัว

เลขจำนวนเต็มบวกในกลุ่ม 3 นี้ จึงเป็นเลขจำนวนประกอบ ยกเว้นในกรณีที่ 30n+3 และค่า n=0 จะได้ผลลัพธ์เป็นเลข 3 ซึ่ง 3 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ

4.กลุ่มที่ 4 เป็นกลุ่มตัวเลขจำนวนเต็มที่หารด้วย 5 ลงตัว คือ 30n+5, 30n+10, 30n+15.... n มีค่าเป็นเลขจำนวนเต็มเท่ากับหรือมากกว่า 0 เพราะ 30n+5=5(6n+1), 30n+10=5(6n+2)........ มี 5 มาหารได้ลงตัว

เลขจำนวนเต็มบวกในกลุ่ม 4 นี้ จึงเป็นเลขจำนวนประกอบ ยกเว้นในกรณีที่ 30n+5 และค่า n=0 จะได้ผลลัพธ์เป็นเลข 5 ซึ่ง 5 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ

5.เลขที่เหลือคือ 30n+1, 30n+7, 30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19, 30n+23 และ 30n+29 นั้น ซึ่งเมื่อแทนค่า n ด้วยเลขจำนวนเต็มเท่ากับหรือมากกว่า 0 เราก็จะพบว่าเลขดังกล่าวคือเลขที่อยู่ในโครงสร้างเกลียวคู่นั่นเอง

ถ้าแทนค่า n ด้วยเลข 0 เราจะได้เลข 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, และ 29 ซึ่งเลขทุกตัวยกเว้นเลข 1 ล้วนเป็นเลขจำนวนเฉพาะ

เมื่อแทนค่า n ด้วยเลข 1 จะได้เลข 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 ซึ่งเลขทุกตัวเป็นเลขจำนวนเฉพาะ ยกเว้นเลข 49 เป็นเลขจำนวนประกอบเพราะเกิดจาก 7*7

แทนค่า n ด้วยเลข 2 จะได้เลข 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89 ซึ่งทุกตัวเป็นเลขจำนวนเฉพาะ ยกเว้นเลข 77 เป็นเลขจำนวนประกอบเพราะเกิดจาก 7*11.

แทนค่า n ด้วยเลข 3 จะได้เลข 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119 ซึ่งทุกตัวเป็นเลขจำนวนเฉพาะ ยกเว้นเลข 91 และ 119 เป็นเลขจำนวนประกอบ เพราะ 91=7*13 และ 119=7*17

แทนค่า n ด้วยเลข 4 จะได้เลข 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149 ซึ่งเลขทุกตัวเป็นเลขจำนวนเฉพาะ ยกเว้นเลข 121, 133, และ 143 เป็นเลขจำนวนประกอบ เพราะ 121=11*11, 133=7*19, และ 143=11*13

ถ้าเราทดสอบแทนค่า n ไปเรื่อยๆ ก็จะพบว่า เลขจำนวนเต็มในกลุ่มที่ 5 นี้ ประกอบด้วยเลขจำนวนเฉพาะแทรกปนเปไปกับเลขจำนวนประกอบ อีกนัยหนึ่งก็คือ เลขจำนวนเฉพาะทุกตัวยกเว้นเลข 2, 3, และ 5 ล้วนอยู่ในกลุ่มที่ 5 นี้ทั้งสิ้น และเพราะเลขจำนวนเต็มทุกตัวในกลุ่มที่ 2, 3, และ 4 ยกเว้นเลข 2, 3, และ 5 เป็นเลขจำนวนประกอบทั้งสิ้น

กล่าวโดยสรุป เลขในกลุ่มที่ 5 คือ เลขเกลียวคู่ มีเลขจำนวนเฉพาะและเลขจำนวนประกอบปะปนกันอยู่

จึงมีปัญหาต่อไปว่าเราจะแยกแยะเลขจำนวนเฉพาะออกจากเลขจำนวนประกอบที่อยู่ปนกันได้อย่างไร จากรูปแบบตัวเลขจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เลขจำนวนเฉพาะดังรูปข้างล่างนี้ ก็จะเห็นว่าเลขดังกล่าวเกิดจากมีเลขจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของเลขเกลียวคู่นั้นเป็นองค์ประกอบหรือมาหารได้ลงต ัว ได้แก่ 49=7*7, 77=7*11, 91=7*13, 121=11*11, 133=7*19 และ 143=11*13 ............. เป็นต้น

ดังนั้น เลขจำนวนเฉพาะจึงเป็นส่วนเหลือจากการคัดเอาเลขจำนวนประกอบที่เป็นเลขเกลียวคู่ที่มีเลขจำนวนเฉพาะขนาดเล็กที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับร ากที่สองของเลขเกลียวคู่นั้นมาหารได้ลงตัว โดยที่เลขจำนวนเฉพาะไม่มีเลขจำนวนเฉพาะอื่นใดมาหารได้ลงตัว ยกเว้นตัวมันเอง ณ ปัจจุบันนี้เราจึงยังไม่มีใครหาสมการทางตรงที่จะหาเลขจำนวนเฉพาะได้

สำหรับปัญหาว่าเลขจำนวนเฉพาะมีโครงสร้างที่แน่นอนตายตัวหรือไม่ ในทรรศนะส่วนตัวก็คิดว่าน่าจะมีโครงสร้างที่แน่นอนเป็นระเบียบ เพราะเลขจำนวนเฉพาะทุกตัวยกเว้นเลข 2, 3, และ 5 ล้วนอยู่ในภายในสูตรสมการเกลียวคู่หรือโครงสร้างเกลียวคู่ ที่มีความแน่นอน และเลขเกลียวคู่ที่เป็นเลขจำนวนประกอบก็มีสูตรที่เกิดจากการหารด้วยเลขจำนวนเฉพาะที่มีการหารที่ลงตัว โครงสร้างของเลขจำนวนเฉพาะจึงอยู่ภายใต้กรอบของสูตรสมการ

จากข้อมูลทั้งหมดดังกล่าวนี้ เราอาจให้นิยามของเลขเกลียวคู่ คือเลขจำนวนเต็มบวกใดๆที่อยู่ในสมการ 30n+1, 30n+7, 30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19, 30n+23 และ 30n+29

สมการนี้อาจเป็นสมการขนาดเล็กที่เป็นมูลฐานที่สุดในการค้นหา เลขจำนวนเฉพาะ ก็อาจเป็นได้ ผมได้ส่งข้อมูลไปให้สถาบันทางวิชาการที่เกี่ยวข้องพิจารณาแล้ว

สำหรับประโยชน์ที่ได้จากการการค้นพบสมการนี้คือ เราสามารถนำไปช่วยในการค้นหาเลขจำนวนเฉพาะใดๆ ถัดจากตัวที่ทราบค่าแล้วดังนี้

สมมุติว่าเลขจำนวนเฉพาะที่เราทราบค่าคือเลข 99971

เราสามารถหาค่าจำนวนเฉพาะตัวถัดไปได้ โดยการนำค่า 99971 มาหารด้วยเลข 30 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 3332.366 ดังนั้นค่า n ที่เราสามารถนำมาแทนค่าในสมการคือ 3332 และ 3333

จากสมการเลขเกลียวคู่ 8 สมการ ที่มีเลขจำนวนเฉพาะเป็นองค์ประกอบอยู่ด้วย คือ 30n+1, 30n+7, 30n+11, 30n+13, 30n=17, 30n+19, 30n+23, และ 30n+29 จะได้ว่า

เมื่อค่า n=3332 เราจะได้เลขเกลียวคู่ 8 ตัวคือ 99961, 99967, 99971, 99973, 99977, 99979, 99983, และ 99989

เมื่อค่า n=3333 เราจะได้เลขเกลียวคู่ 8 ตัวคือ 99991, 99997, 100001, 100003, 100007, 100009, 100013, และ 100019

จากนั้นเรานำเลขทั้ง 16 จำนวนไปทดสอบหาค่าใดบ้างที่เป็นเลขจำนวนเฉพาะ โดยนำไปหารด้วยค่าจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า หรือเท่ากับรากที่สองของเลขเกลียวคู่ทั้ง 16 ตัว ที่นำมาทดสอบ ซึ่งค่าจำนวนเฉพาะขนาดเล็กดังกล่าวคือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, .................83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.............179, 181, 191, 193, 197, 199, ....... ซึ่งผลจากการหาร ก็พบว่าเลขที่ต่อไปนี้ไม่สามารถหารได้ลงตัว จึงจัดเป็นเลขจำนวนเฉพาะ คือ 99961, 99971, 99989, 99991, 100003, และ 100019

ส่วนที่เหลือคือเลขที่ถูกหารได้ลงตัว จึงจัดว่าเป็นเลขจำนวนประกอบคือ 99967, 99973, 99977, 99979, 99983, 99997, 100001, 100007, 100009 และ 100013

ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ เราสามารถนำค่าเลขจำนวนเฉพาะพื้นฐาน คือ เลข 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, และ 29 และสมการเลขเกลียวคู่คือ 30n+1, 30n+7, 30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19, 30n+23 และ 30n+29 มาใช้ในการหาค่าเลขจำนวนเฉพาะใดๆ ก็ได้ แต่ต้องเริ่มจากการหาเลขจำนวนเฉพาะค่าน้อย โดยการแทนค่า n ด้วยเลขขนาดเล็ก เพราะการหาเลขจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่มากๆ เราจำเป็นต้องมีเลขจำนวนเฉพาะที่มีขนาดน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของเลขจำนวนเต็มขนาดใหญ่ที่ต้องการหามาทำหน้าที่เป็นตัวหาร

กล่าวโดยสรุป มีความเป็นไปได้ว่าเลขจำนวนเฉพาะมีโครงสร้างที่เป็นระเบียบ โดยอยู่ในกรอบของโครงสร้างเกลียวคู่หรือสมการเลขเกลียวคู่ และถูกกำหนดด้วยเลขจำนวนเฉพาะขนาดน้อยกว่าหรือเท่ากับเลขจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่กว่า โดยที่จะมีลักษณะเป็นโครงสร้างเกลียวคู่ไม่สมบูรณ์ เมื่อเขียนเลขจำนวนเต็มเป็นเลข 5 แถวในแนวตั้ง ผู้เขียนได้ค้นพบสมการเลขเกลียวคู่ที่มีเลขจำนวนเฉพาะเป็นองค์ประกอบร่วมอยู่ ทำให้ช่วยในการค้นหาเลขจำนวนเฉพาะใดๆ ได้

ผู้เขียนมิใช่ผู้ที่อยู่ในวงการคณิตศาสตร์ งานเขียนทั้งหมดนี้เกิดจากจุดเริ่มต้นที่หนังสือ "ผู้ชายที่หลงรักตัวเลข" เป็นหลัก และคิดต่อเนื่องมา การค้นพบสมการนี้ เกิดจากการค้นพบโครงสร้างเกลียวคู่ที่คล้ายคลึงกับโครงสร้างเกลียวคู่ของพันธุกรรมดีเอ็นเอก่อน เป็นการมองคณิตศาสตร์ในแง่โครงสร้าง(Architecture approach) ซึ่งไม่จำเป็นต้องอาศัยคณิตศาสตร์ชั้นสูง มิได้ลอกเลียนผู้ใดทั้งสิ้น แล้วจึงมองเห็นสมการเลขเกลียวคู่ดังกล่าว แต่เนื่องจากผู้เขียนไม่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์ชั้นสูงใดๆ ทั้งสิ้นจึงอาจจะผิดพลาดได้ ผู้เขียนก็ขออภัยและน้อมรับความผิดพลาดและข้อวิจารณ์ทั้งปวง ได้สอบถามนักคณิตศาสตร์ผู้ทรงคุณวุฒิท่านหนึ่ง ท่านกล่าวว่า สมการดังกล่าวดูจะสอดคล้องกับทฤษฎี Dirichlet"s Theorem ที่ว่ามีเลขจำนวนเฉพาะเป็นปริมาณอนันต์ในรูป an+k เมื่อ a และ k เป็นเลขจำนวนเต็มเฉพาะสัมพัทธ์ต่อกัน เมื่อแปร n ไปเหนือเซตของจำนวนเต็ม และเป็นที่ทราบกันดีว่าเลขจำนวนเต็มบวกใดๆ เป็นเลขจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อมีจำนวนเฉพาะจำนวนหนึ่งที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของมันที่หารมันได้ลงตัว การค้นพบของผู้เขียนอาจมีความพิเศษอยู่ที่เลข 30 คุณค่าของการค้นพบมิได้มีมากมายนัก

อย่างไรก็ตาม ความพิเศษของสมการนี้ นอกจากเลข 30 แล้ว อาจเป็นเลข 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, และ 29 ซึ่งน่าจะเป็นเลขฐานต่ำสุดที่ทำให้สมการค้นหาเลขจำนวนเฉพาะนี้สมบูรณ์

การเขียนบทความนี้ ผู้เขียนในฐานะคนทำงาน เป็นความสุขเล็กๆ ที่ได้พบบางสิ่งบางอย่างที่ยังไม่มีผู้กล่าวถึง แม้จะเป็นสมการเล็กๆ ก็ตาม ก็หวังว่าจะช่วยให้นักเรียนและนักศึกษาที่สนใจคณิตศาสตร์ได้ช่วยกันคิดสิ่งเล็กๆ น้อยๆ นี้ เผื่อว่าจะได้ค้นพบสิ่งที่ยิ่งใหญ่ในอนาคต และหวังว่าผู้อ่านจะมีความสุข ได้รับคุณค่าบางอย่างในการอ่านบทความนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้