[nongtum]

ห้า่ข้อสิบนาที โห...
ลงคำตอบก่อนนะครับ เดี๋ยวแนวคิดจะตามมา

1. 106
แนวคิด: เทียบเลขชี้กำลังและฐานจะได้ $z=y^2=2x+1$ ดังนั้น $y^2+y+(y^2-1)/2=16$ ทำให้ $y=3,\ x=4,\ z=9$ และ $x^2+y^2+z^2=106$

2. ข้อสองผมคิดว่าเขาถามความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมมากกว่านะครับ ส่วนคำตอบ(ในกรณีนี้)คือ 46 cm
แนวคิด: ให้ด้านประกอบมุมฉากเป็น $a,b$ จะได้ $a^2+b^2=400$ และ $ab=2\times(a+b+20)$ ดังนั้น $(a-2)(b-2)=44$
ให้ $u=a-2,\ v=b-2$ ดังนั้น $uv=44$ และ $(u+2)^2+(v+2)^2=(u+v)^2+4(u+v)+8-2uv=(u+v+2)^2+8-88=400$
นั่นคือ $u+v=a+b-4=22$ ความยาวเส้นรอบรูปจึงเป็น 20+26=46 cm

3. $32(\sqrt2-1)$ cm²
แนวคิด: ให้แปดเหลี่ยมนี้ยาวด้านละ $x$ cm สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ตัดออกไปสี่มุม มีด้านประกอบมุมฉากยาว $y$ cm
ดังนั้น $2y+x=4$ และ $x^2=2y^2$ ซึุ่งทำให้ $2y+\sqrt2y=4$ ดังนั้น $y=2(2-\sqrt2)$ cm
พื้นที่แปดเหลี่ยมจึงเป็น $16-\frac42\cdot4(2-\sqrt2)^2=16-8(6-4\sqrt2)=32(\sqrt2-1)$ cm²

4. $30303030303$
แนวคิด: ดึง 78 กับ 87 ออกมาก่อน จะได้ตัวร่้วมเป็น 10101010101 แต่ (78,87)=3 ดังนั้น ห.ร.ม. จึงเป็น $3\times10101010101=30303030303$

5. 10200
แนวคิด: เพราะ $xy=100z,\ yz=100x,\ zx=100$ ดังนั้น $x(yz)=100y=100x^2$ นั่นคือ $y=x^2$ ทำให้ $xy=x^3=100x$ ดังนั้น $x=10=z,\ y=100$ นั่นคือ $x^2+y^2+z^2=10200$