โจทย์
sol.
จาก $ x+y=1 $
และ $ xy= \frac{1}{6} $ จะได้
$ x^2-x+\frac{1}{6} = 0 $
$ 6x^2-6x+1 = 0 $
แก้สมการได้$ x= \frac{3\pm \sqrt{3} }{6} , y = \frac{3\mp \sqrt{3} }{6} $
หรือ $ x= \frac{3+ \sqrt{3} }{6} , y = \frac{3- \sqrt{3} }{6} $..........(1)
และ $ x= \frac{3- \sqrt{3} }{6} , y = \frac{3+ \sqrt{3} }{6} $..........(2)
ทั้งสองกรณี คำนวณแล้วได้ $ x^2+y เท่ากับ x+y^2 $
กรณีที่ 1 $ x^2+y=x+y^2= (\frac{3+\sqrt{3} }{6} )^2 + \frac{3-\sqrt{3} }{6} =\frac{12+6\sqrt{3}+18-6\sqrt{3}}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6} $
กรณีที่ 2 $ x^2+y=x+y^2= (\frac{3-\sqrt{3} }{6} )^2 + \frac{3+\sqrt{3} }{6} =\frac{12-6\sqrt{3}+18+6\sqrt{3}}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6} $
อัตราส่วนทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม คือ $ x^2+y:x+y^2:\frac{5\sqrt{2} }{6} = \frac{5}{6} : \frac{5}{6} : \frac{5\sqrt{2} }{6} $
ทอนอัตราส่วนได้ $ 1:1:\sqrt{2} $ ซึ่งเป็นอัตราส่วนของสามเหลี่ยมมุมฉาก
มีด้านประกอบมุมฉากเท่ากับ 1 ทั้งสองด้าน และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ $\sqrt{2} $
ดังนั้นสามเหลี่ยมโจทย์นี้ มีด้านประกอบมุมฉากเท่ากับ $ \frac{5}{6} $
พื้นที่เท่ากับ $\frac{1}{2}\frac{5}{6} \frac{5}{6} = \frac{25}{72} $
ตอบ ข้อ ง