ข้อ 4. แนวคิดก็คือ นับเกิน 7000 ไปนิดหน่อยครับ แล้วเขียนย้อนกลับมา
คร่าว ๆ ก็คือ
ถ้าขึ้นต้นด้วย 1, 2, 3, 5 จะมีทั้งหมด 4[2(6!)] แบบ
ถ้าขึ้นต้นด้วย 6 (ได้แก่ 60, 61, 62, 63, 65, 67) จะมีทั้งหมด 6(5!) แบบ
ถ้าขึ้นต้นด้วย 70, 71 มีทั้งหมด 2[2(5!)] แบบ
ถ้าขึ้นต้นด้วย 720 มีทั้งหมด 2(4!) แบบ
รวมมีทั้งหมด 5760 + 720 + 480 + 48 = 7008 แบบ
นั่นคือแผ่นทะเบียนรถแผ่นที่ 7008 คือ 7209531
ถ้านับถอยหลังไปคือ 7209531 --> 7209513 -- > ... ก็จะถึงแผ่นที่ 7000 ได้ครับ.
ข้อ 11. แนวคิดก็คือ x = [x] + {x} เมื่อ x แทน ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ x และ {x} แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ x
เช่น -2.34 = -3 + 0.66 --> [-2.34] = 3, {-2.34} = 0.66
2.34 = 2 + 0.34 --> [2.34] = 2 , {2.34} = 0.34
2 = 2 + 0 --> [2] = 2, {2} = 0
จะเห็นว่า $0 \le \{x\} < 1$ เสมอ
ดังนั้น $0 \le \{(x+1)^3\} < 1$ แต่โจทย์ให้ $\{(x+1)^3\} = x^3$ แสดงว่า $0 \le x^3 < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1 ... (*)$
และเนื่องจาก $\{x\} = x - [x] $ ดังนั้น $\{(x+1)^3\} = (x+1)^3 - [(x+1)^3]$ แต่จากโจทย์ $\{(x+1)^3\} = x^3$
แสดงว่า $(x+1)^3 - x^3 = [(x+1)^3]$ นั่นคือ $3x^2+3x+1 = [(x+1)^3]$ แสดงว่า $3x^2+3x = [(x+1)^3] - 1$
ให้ $[(x+1)^3] - 1 = a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
ดังนั้น $3x^2+3x=a \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{12a+9}} {6}$ (เครื่องหมายลบ ใช้ไม่ได้ เนื่องจาก x ไม่เป็นลบ)
แต่จากอสมการ (*) จะได้ $0 \le a < 6$ เมื่อแทน $a = 0, 1, 2, ..., 5$ ก็จะได้ x ออกมาทั้ง 6 ค่าครับ.