[passer-by]

สงสัยผมจะต้องถอนคำพูดที่บอกว่า ข้อ 35 ยากสุดแล้วมั้งเนี่ย

เพราะข้อ 33 รู้สึกจะปวดหัวกว่าอีกเพราะต้องอ้างอิงทฤษฎีเรขาคณิต

33. ให้ A B C D เป็นจุดบนวงกลม เรียงตามเข็มนาฬิกา ถ้า ผลบวกกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลบวกกำลังสองของเส้นทแยงมุม และ $ \mid \vec{AB} \mid = a \,\, , \mid \vec{BC} \mid = b $

หาค่า $ \vec{AC}\cdot \vec{BD} $ ในเทอมของ a, b

Solution : อ้างอิงทฤษฏีในเรขาคณิตที่ว่า สำหรับ convex quadrilateral ABCD (ตามโจทย์)
$$ a^2+b^2+c^2+d^2 = (Di_1)^2+(Di_2)^2+4x^2 $$
เมื่อ x แทนความยาวเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุม
a,b,c,d คือด้านทั้งสี่ และ $ Di_1 $ และ $ Di_2 $ แทนความยาวเส้นทแยงมุม

ดังนั้น จากโจทย์ทำให้เราพบว่า จุดตัดเส้นทแยงมุม แบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมด้วย

เนื่องจาก ABCD เป็น cyclic ทำให้เส้นทแยงมุม 2 เส้นยาวเท่ากัน (By intersection chord theorem)

และยังทำให้ สี่เหลี่ยมดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย

ดังนั้น $ \vec{AB} = \vec{CD} \,\,\, , \vec{BC} = \vec{DA} $

และ $ \vec{AC} \cdot \vec{BD}= (\vec{AD}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BA}+\vec{BC})= (\vec{BC}+\vec{AB} )\cdot (\vec{BC}-\vec{AB})= b^2-a^2 $

p.s. ใครมีวิธีแบบไม่ต้องอ้างอิงทฤษฎีข้างต้นเกี่ยวกับผลบวกกำลังสอง ก็บอกกันด้วยนะครับ