ดูหนึ่งข้อความ
  #2  
Old 13 มิถุนายน 2002, 22:08
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

ความรู้ในโลกนี้ สมมุติว่าสนใจ อยู่ 2 เรื่อง คือ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ และ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ นั้นมีวิธีคิดที่ต่างกัน ขอให้น้องลองพิจารณาต่อไปนี้นะครับ. ชาวอียิปต์รู้ตั้งนานแล้วว่า สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบร่วมเป็น 3,4,5 นั้นจริง คือมีการทำปักหมุดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3,4,5 ดังกล่าวกับพื้นดิน(ไปหาอ่านเอา) แต่นักคณิตศาสตร์ยุคเราเชื่อกันว่า ชาวอียิปต์รู้จากการสังเกต แต่ไม่ทราบเหตุผล คือไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ?? (อ้อ. ชาวบาบิโลเนีย ซึ่งอยู่ยุคใกล้ ๆกันก็รู้เหมือนกัน)

พิทากอรัสและศิษยานุศิษย์ ซึ่งเป็นชาวกรีกยุคประมาณราว ๆ สองสามร้อยปีก่อน คริตศักราช(มั้ง) ได้ทำการพิสูจน์โดยวิธีทางคณิตศาสตร์เป็นคนแรก
ถึงตรงนี้น้องเข้าใจหรือยังครับ. ว่าวิธีการคิดแบบคณิตศาสตร์ กับ วิทยาศาสตร์ต่างกันอย่างไร ความรู้ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วในทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นจริง สมมติเมื่อ 2 พันปีก่อนเป็นเช่นไร อีก 2 พันปีต่อมาก็ไม่เปลี่ยนแปลง และไม่มีใครพิสูจน์หักล้างได้ ซึ่งจะต่างกับ วิธีคิดและความรู้แบบวิทยาศาสตร์ ซึ่งอาศัยจากการสังเกต ประสบการณ์ และ การทดลอง สมมุติ 2 พันปีก่อน เชื่อว่าไม่มีทางที่มนุษย์จะออกไปนอกโลกได้ แต่ 2 พันปีต่อมาความรู้นี้เปลี่ยนไป เป็นต้น. (นั่นคือเหตุผลหลัก ๆ ที่พี่จะไม่ไปยุ่งกับวิชาทางฟิสิกส์เท่าใดนัก ถ้าน้องเรียนเรื่องแสงมาแล้วคงรู้)

ต่อมาราว ๆ หลังจากพิทาอกรัส 2 - 3 ร้อยปี(มั้ง อีกล่ะ) ยุคลิดชาวอะไรหลักฐานไม่ปรากฏชัด เป็นคนแรกที่ได้รวบรวมความรู้ ทางคณิตศาสตร์ไว้เป็นเรื่องเป็นราว ในขณะเดียวกัน ยุคลิดก็เป็นผู้ที่เรียกได้ว่า วางรากฐานคณิตศาสตร์ในยุคต่อ ๆ มาอย่างแท้จริง
ขอให้น้อง พิจารณาการอ้างเหตุผลต่าง ที่เราใช้สมมุติว่า ถามว่า " ทำไมฝนจึงตก "
คำตอบ : ก็เพราะไอน้ำรวมตัวกันจนหนักน่ะสิ
อ้าว ! แล้วไอน้ำมาจากไหนล่ะ
อ๋อ. มาจากแสงแดดให้ความร้อนไง
แล้ว แสงแดดมาจากไหนล่ะ
โธ่ ! ก็มาจากดวงอาทิตย์ . เฮ้อ เด็ก ป.1 ยังรู้เลย
อ้าว ! แล้วทีนี้ ดวงอาทิตย์มาจากไหนล่ะ
อึ๋ย. ก็มาจากรวมตัวกันของฝุ่นก๊าซ เป็นเวลาหลายล้านปี หลังการระเบิดครั้งใหญ่ของจักรวาล ตามทฤษฎี Big Bang น่ะ
แล้วทฤษฎี Big Bang น่ะ เชื่อได้รึ.
เฮ้ย. ! จริงล่ะมั้ง อยากรู้ก็ไปถามพระเจ้าซิ
(ไม่คุย ต่อแล้วนะครับ. เดี๋ยวจะถามต่อว่า พราะเจ้ามาจากไหนอีก ฮ่า ๆ ๆ ๆ )

จะเห็นได้ว่า ในการตอบสิ่งใดนั้น เราต้องอ้างไปถึงสิ่งที่เราเชื่อว่าจริงก่อนหน้านี้เสมอ.

ดังนั้นยุคลิดจึงเชื่อว่า ถ้าเป็นเช่นนี้สุดท้ายก็ย่อมที่มีความจริง ที่ไม่สามารถอ้างย้อนไปถึงสิ่งไหนได้ สิ่งนั้นคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกกันว่า สัจพจน์ (Axiom) ซึ่งก็คือความจริงที่ยอมรับได้โดยไม่ต้องพิสูจน์ไงครับ. เพราะถ้าไม่มีสัจพจน์แล้ว การอ้างเหตุผลจะเป็นวงกลม ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุด
ถ้าน้องเคยได้ยินเพลงนี้ คงเข้าใจดีว่า ที่ว่าเป็นวงกลมน่ะเป็นเช่นไร

" ฝนเอยทำไมจึงตก ๆ จำเป็นต้องตกเพราะว่า กบมันร้อง กบเอยทำไมจึงร้องๆ จำเป็นต้องร้อง เพราะว่าท้องมันปวด ท้องเอยทำไมจึงปวด ๆ จำเป็นต้องปวด เพราะว่าข้าวมันดิบ ข้าวเอยทำไมจึงดิบ ๆ จำเป็นต้องดิบเพราะว่า ฟืนมันเปียก ฟืนเอยทำไมจึงเปียก ๆ จำเป็นต้องเปียกเพราะว่าฝนมันตก !!! "

เห็นไหมครับ.ว่าถ้าการอ้างเหตุผลมันเป็นวงกลมก็คงไม่ต้องคุยกันแล้ว
ยุคลิดได้ตั้ง สัจพจน์ไว้ทั้งสิ้น 5 ข้อ ด้วยกัน(มั้ง) พี่จะยกตัวอย่าง สัจพจน์ข้อที่ 1 นะครับ.
สัจพจน์ข้อที่ 1 กล่าวว่า เส้น คือ จุดที่เรียงต่อ ๆ กันไป
จากหลังจากที่ได้ตั้ง สัจพจน์ทั้ง 5 ข้อ แล้ว ยุคลิดก็สร้าง ความจริงอันอื่น ที่เรียกว่า ทฤษฎีบท โดยทฤษฎีบทอันแรกนี้ก็จะ พิสูจน์จากสัจพจน์ที่วางไว้ดีแล้ว. คราวนี้พอจะสร้างหรือพิสูจน์ ท.บ. ที่ 2 ก็สามารถอ้างความจริงจากสัจพจน์ทั้ง 5 ข้อ และ ท.บ. 1 ที่เมื่อกี๊พิสูจน์ไปแล้วได้ด้วย ทำเช่นนี้เรื่อยไป ก็จะได้ทฤษฎีบทต่าง ๆ ออกมามากมายเป็นลำดับต่อ ๆ กันมา ที่น้องเรียน ๆ กันและก็เรียกกันว่า สมบัตินู่น สมบัตินี่ เช่น สมบัติการกระจาย ... สูตรอะไรทั้งหลายนั่น ก็เป็นทฤษฎีบท
ด้วยวิธีการให้เหตุผลที่ยุคลิดใช้กับเรขาคณิตแบบนี้เอง ที่เป็นต้นแบบให้นักคณิตศาสตร์ได้นำมาใช้ พิสูจน์เป็นวิธีต่าง ๆ หลากหลายมากมาย ซึ่งรวม ๆ เราเรียกกันว่า .. เอ้อ. อย่าเลยเดี่ยวมากไปจะสับสนนะครับ.

โดยตัว สัจพจน์ของยุคลิดเอง จะมีปัญหาก็ตรงสัจพจน์ข้อที่ 5 ในเวลาต่อมาเมื่อโลกเราเจริญทางด้านวิทยาศาสตร์ขึ้น ดังเช่นทุกวันนี้ ซึ่งกล่าวว่า
ถ้าต่อเส้นตรง 2 เส้นซึ่งขนานกันออกไป แล้วเส้นตรงทั้งสองจะไม่มีตัดกันเด็ดขาด อ้อ. ไกลไปอีกแล้ว ๆ พอ ๆ

ปัจจุบันศาสตร์ทางด้านคณิตศาสตร์เจริญไปอย่างมากมาย วิชาคณิตศาสตร์เหมือนเป็นคนที่ปิดทองหลังพระ อย่างแท้จริง ถ้าคณิตศาสตร์ไม่เจริญแล้วโลกเรานี้คงไม่ไปไหน นักคณิตศาสตร์ไว้วางระบบ แบบแผนไว้อย่างดี ศาสตร์ต่าง ๆ ต่างนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้มากมาย วิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นการศึกษาถึงสิ่งที่นำไปใช้จริงได้ จับต้องได้ เช่น ระบบจำนวนตัวเลข แต่เพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่ยังศึกษาถึงระบบทั่ว ๆ ไปขึ้นมา เพื่อวางระบบไว้ในอนาคต รอวันที่ศาสตร์อื่น ๆ นำไปใช้เท่านั้นเอง อย่างเช่นตอนนี้น้องอาจจะรู้กับคำว่า พีชคณิต ในแง่ของการบวก ลบ คูณ หาร ธรรมดา อาจจะเห็นตัวมัน และ พอเข้าใจ แต่นักคณิตศาสตร์ได้มีการพัฒนา พีชคณิตในแง่ของนามธรรม (Abstract Algebra) ซึ่งเป็นระบบความคิดซึ่งจับต้องไม่ได้ ในตัว Abstract Algebra เองถ้าสนใจเฉพาะจำนวน 0 กับ 1 มันก็ยังถูกเรียกเฉพาะลงไปอีกว่า Boolean Algebra ซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าได้อีก (พวกต่ออนุกรม ขนาน อะไรอย่างนั้นเป็นต้น.) มีเรื่องที่น่าสนใจมากมายในพีชคณิตนามธรรมนี้ เช่น ทฤษฎี Galois (ไม่แน่ใจว่าเขียนถูกหรือเปล่า) ซึ่งเป็นทฤษฎีซึ่งนักคณิตศาสตร์ชื่อนี้ล่ะ ได้คิดขึ้นมาทีหลัง แล้วสามารถเชื่อมโยง ระบบ พีชคณิตนามธรรม ที่นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาไว้รุ่นแรก ๆ ได้เป็นอย่างดี
อ้าว ! ไปไกลอีกแล้วครับ. ผมก็ว่าไปตามที่คิดว่ารู้มานะ ผิดถูกประการถ้ามีคนทราบก็ช่วยท้วงติงด้วยครับ. ผมก็ไม่ค่อยจะรู้มากเท่าไรนัก
ถึงตรงนี้ น้องตอบได้หรือยังครับว่า. " ระเบียบวิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ " คืออะไร
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้